📝 题目
例 12 中,曾经讨论过如下形状的序列变换 (算术平均变换):
$$ {\beta }_{n} = \frac{{\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n}}{n},\;n = 1,2,\cdots . $$
在那里,我们证明了: 如果 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列,那么 $\left\{ {\beta }_{n}\right\}$ 也是无穷小序列. 下面, 我们讨论更一般的一种序列变换.
定义 设给定了一个由非负实数排成的无穷三角形数表 (无穷三角阵)
\begin{center} ![](\"/static/img/math_analysis/006.jpg\")
\end{center} \hspace*{3em}
如果这数表满足条件
(1) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk} = 1,\;\forall n \in \mathbb{N}}$ ,
(2)对任意给定的 $k$ 都有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{t}_{nk} = 0 $$
那么我们就把这样的数表 $\left\{ {t}_{nk}\right\}$ 叫作特普利茨 (Toeplitz) 数表或者特普利茨矩阵, 并把序列变换
$$ {\beta }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k},\;n = 1,2,\cdots $$
叫作特普利茨变换.
前面提到的算术平均变换是特普利茨变换的一种特殊情形, 它所对应的特普利茨数表是
$$ {t}_{nk} = 1/n, $$
$$ n = 1,2,\cdots ,\;k = 1,2,\cdots ,n. $$
引理 1 设 $\left\{ {t}_{nk}\right\}$ 是任意一个特普利茨数表, $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是任意一个无穷小序列, 并设
$$ {\beta }_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k},\;n = 1,2,\cdots , $$
则有
$$ \lim {\beta }_{n} = 0\text{ . } $$
💡 答案与解析
证明 对任何 $\varepsilon > 0$ ,存在 $m \in \mathbb{N}$ ,使得只要 $k > m$ ,就有
$$ \left| {\alpha }_{k}\right| < \varepsilon /2\text{ . } $$
对这取定的 $m$ ,又可取 $p \in \mathbb{N}$ 充分大,使得 $n > p$ 时,有
$$ {t}_{n1}\left| {\alpha }_{1}\right| + \cdots + {t}_{nm}\left| {\alpha }_{m}\right| < \varepsilon /2. $$
我们记
$$ N = \max \{ m,p\} . $$
于是,对于 $n > N$ ,就有
$$ \left| {\beta }_{n}\right| \leq {t}_{n1}\left| {\alpha }_{1}\right| + \cdots + {t}_{nm}\left| {\alpha }_{m}\right| $$
$$ + {t}_{n\left( {m + 1}\right) }\left| {\alpha }_{m + 1}\right| + \cdots + {t}_{nn}\left| {\alpha }_{n}\right| $$
$$ < \frac{\varepsilon }{2} + \left( {{t}_{n\left( {m + 1}\right) } + \cdots + {t}_{nn}}\right) \frac{\varepsilon }{2} $$
$$ \leq \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon . $$
引理 2 设 $\left\{ {t}_{nk}\right\}$ 是一个特普利茨数表, $\left\{ {u}_{n}\right\}$ 是收敛于 $a$ 的一个实数序列,
$$ {v}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{u}_{k},\;n = 1,2,\cdots , $$
则有
$$ \lim {v}_{n} = a. $$
证明 我们有
$$ {u}_{n} = a + {\alpha }_{n}, $$
这里 $\left\{ {\alpha }_{n}\right\}$ 是无穷小序列. 于是
$$ {v}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}\left( {a + {\alpha }_{k}}\right) $$
$$ = a\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k} $$
$$ = a + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k}. $$
由引理 1 可知
$$ \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{\alpha }_{k}}\right\} $$
是无穷小序列. 因而有
$$ \lim {v}_{n} = a. $$
斯托尔茨定理 设 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 和 $\left\{ {y}_{n}\right\}$ 是实数序列, $0 < {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots <$
${x}_{n} < {x}_{n + 1} < \cdots$ ,并且
$$ \lim {x}_{n} = + \infty \text{ . } $$
如果存在有穷极限
$$ \lim \frac{{y}_{n} - {y}_{n - 1}}{{x}_{n} - {x}_{n - 1}} = a, $$
那么也就一定有
$$ \lim \frac{{y}_{n}}{{x}_{n}} = a. $$
证明 为书写方便, 我们记
$$ {x}_{0} = {y}_{0} = 0\text{ . } $$
考察特普利茨数表
$$ {t}_{nk} = \frac{{x}_{k} - {x}_{k - 1}}{{x}_{n}}, $$
$$ n = 1,2,\cdots ,\;k = 1,2,\cdots ,n. $$
用这数表对序列
$$ {u}_{n} = \frac{{y}_{n} - {y}_{n - 1}}{{x}_{n} - {x}_{n - 1}},\;n = 1,2,\cdots $$
作变换就得到
$$ {v}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{t}_{nk}{u}_{k} $$
$$ = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{{x}_{k} - {x}_{k - 1}}{{x}_{n}} \cdot \frac{{y}_{k} - {y}_{k - 1}}{{x}_{k} - {x}_{k - 1}} $$
$$ = \frac{1}{{x}_{n}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {{y}_{k} - {y}_{k - 1}}\right) = \frac{{y}_{n}}{{x}_{n}}, $$
$$ n = 1,2,\cdots \text{ . } $$
我们有
$$ \lim {u}_{n} = a. $$
利用引理 2 就得到
$$ \lim {v}_{n} = a, $$
即
$$ \lim \frac{{y}_{n}}{{x}_{n}} = a $$