📝 题目
例 8 考察极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{\sin x}{x}}$ .
我们有
$$ \left| \frac{\sin x}{x}\right| \leq \frac{1}{\left| x\right| },\;\forall x \neq 0. $$
对任何满足条件 $\displaystyle{x}_{n} \neq 0,{x}_{n} \rightarrow \infty}$ 的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ ,都有
$$ \lim \frac{\sin {x}_{n}}{{x}_{n}} = 0, $$
所以
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{\sin x}{x} = 0. $$
利用关于序列极限已有的结果, 可以轻而易举地证明关于函数极限的一些相应的结果.
定理 1 函数极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right)$ 是唯一的.
💡 答案与解析
证明 对任意取定的满足条件 ${x}_{n} \neq a,{x}_{n} \rightarrow a$ 的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ ,相应的函数值序列 $\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\}$ 的极限至多只能有一个.
定理 2 (夹逼定理) 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 和 $h\left( x\right)$ 在 $a$ 的某个去心邻域 $\check{U}\left( a\right)$ 上有定义,并且满足不等式
$$ f\left( x\right) \leq g\left( x\right) \leq h\left( x\right) ,\;\forall x \in \check{U}\left( a\right) . $$
如果
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}h\left( x\right) = A, $$
那么
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) = A\text{ . } $$
证明 对任何满足条件 ${x}_{n} \rightarrow a$ 的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( a\right)$ ,我们有
$$ f\left( {x}_{n}\right) \leq g\left( {x}_{n}\right) \leq h\left( {x}_{n}\right) $$
和
$$ \lim f\left( {x}_{n}\right) = \lim h\left( {x}_{n}\right) = A, $$
因而
$$ \lim g\left( {x}_{n}\right) = A\text{ . } $$
定理 3 关于函数的极限, 有以下的运算法则:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\left( {f\left( x\right) \pm g\left( x\right) }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) \pm \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) ; $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\left( {f\left( x\right) g\left( x\right) }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) \cdot \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) ; $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{g\left( x\right) }{f\left( x\right) } = \frac{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) }{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) }. $$
以上每一公式成立的条件是该式右端有意义.
证明 设函数 $f\left( x\right)$ 和 $g\left( x\right)$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}\left( a\right)$ 上有定义, 并且
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) = B. $$
如果 $A + B$ 有意义,那么对于任何满足条件
$$ {x}_{n} \rightarrow a,\;\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( a\right) $$
的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 都有
$$ \lim \left( {f\left( {x}_{n}\right) + g\left( {x}_{n}\right) }\right) = \lim f\left( {x}_{n}\right) + \lim g\left( {x}_{n}\right) $$
$$ = A + B\text{ . } $$
这就证明了
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\left( {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) + \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) . $$
其他公式可仿此证明.
以下关于复合函数求极限的定理很有用.
定理 4 设函数 $g$ 在 $b$ 点的某个去心邻域 $\check{U}\left( b\right)$ 上有定义, $\mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow b}}g\left( y\right) = c$ . 又设函数 $f$ 在 $a$ 点的某个去心邻域 $\check{U}\left( a\right)$ 上有定义, $f$ 把 $\check{U}\left( a\right)$ 中的点映到 $\check{U}\left( b\right)$ 之中 (用记号表示就是: $f\left( {\check{U}\left( a\right) }\right) \subset \check{U}\left( b\right)$ ) 并且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = b$ . 则有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( {f\left( x\right) }\right) = c. $$
证明 对任何满足条件 ${x}_{n} \rightarrow a$ 的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( a\right)$ ,我们有 $\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\} \subset \check{U}\left( b\right)$ 和 $f\left( {x}_{n}\right) \rightarrow b$ ,因而
$$ \lim g\left( {f\left( {x}_{n}\right) }\right) = c. $$
这就证明了
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( {f\left( x\right) }\right) = c. $$
注记 通常把定理 4 的结论形式地写成
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( {f\left( x\right) }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow b}}g\left( y\right) , $$
并把这个式子说成是: 在极限式 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( {f\left( x\right) }\right)$ 中做变元替换 $y =$ $f\left( x\right)$ . 这样的写法和说法用起来很方便,但应检查所要求的条件是否得到满足 (按定理 4 检查).