📝 题目
例 13 设 $a \in \mathbb{R},a > 0$ . 试用 $\varepsilon - \delta$ 定义证明 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\sqrt{x} = \sqrt{a}}$ .
💡 答案与解析
证明 我们有
$$ \left| {\sqrt{x} - \sqrt{a}}\right| = \frac{\left| x - a\right| }{\sqrt{x} + \sqrt{a}} \leq \frac{1}{\sqrt{a}}\left| {x - a}\right| . $$
对任意 $\varepsilon > 0$ ,取 $\displaystyle{\delta = \min \{ a,\sqrt{a}\varepsilon \}}$ ,则当 $0 < \left| {x - a}\right| < \delta$ 时,就有
$$ \left| {\sqrt{x} - \sqrt{a}}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{a}}\left| {x - a}\right| < \varepsilon . $$