第2章 极 限 · 第14题

证明 对于 $x \in \left( {0,\pi /2}\right)$ ,我们有

$$ \sin x < x < \tan x, $$

$$ \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1, $$

$$ 0 < 1 - \frac{\sin x}{x} < 1 - \cos x = 2{\sin }^{2}\frac{x}{2} \leq 2{\left( \frac{x}{2}\right) }^{2}, $$

即

$$ 0 < 1 - \frac{\sin x}{x} < \frac{{x}^{2}}{2}. $$

因为 $\sin x/x$ 和 ${x}^{2}/2$ 都是偶函数,显然上式对于 $x \in \left( {-\pi /2,0}\right)$ 也成立, 所以

$$ 0 < 1 - \frac{\sin x}{x} < \frac{{x}^{2}}{2},\;\forall x \in \check{U}\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right) . $$

对任意 $\varepsilon > 0$ ,可取 $\displaystyle{\delta = \min \{ \pi /2,\sqrt{2\varepsilon }\}}$ ,只要 $0 < \left| {x - 0}\right| = \left| x\right| < \delta$ , 就有

$$ \left| {1 - \frac{\sin x}{x}}\right| < \frac{{x}^{2}}{2} < \varepsilon . $$

定理 5 设 $a,A \in \mathbb{R}$ ,并设函数 $f\left( x\right)$ 在 $a$ 的某个去心邻域 $\widetilde{U}\left( {a,\eta }\right)$ 上有定义. 则关于极限

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A $$

的两个定义 (定义 $\mathrm{I}$ 和定义 ${\mathrm{{II}}}_{1}$ ) 彼此等价.

证明 先设定义 $\mathrm{I}$ 的条件得到满足,我们来证明这时定义 ${\mathrm{{II}}}_{1}$ 的条件也得到满足 (用反证法). 假设不是这样,那么存在 $\varepsilon > 0$ ,对于不论怎样小的 $\delta > 0$ ,都有 ${x}^{\prime } \in U\left( {a,\eta }\right)$ 使得

$$ 0 < \left| {{x}^{\prime } - a}\right| < \delta ,\;\left| {f\left( {x}^{\prime }\right) - A}\right| \geq \varepsilon . $$

特别地,对于任意 $n \in \mathbb{N}$ 都存在 ${x}_{n} \in \check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 使得

$$ 0 < \left| {{x}_{n} - a}\right| < 1/n,\;\left| {f\left( {x}_{n}\right) - A}\right| \geq \varepsilon . $$

但这时序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 收敛于 $a$ ,而相应的函数值序列 $\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\}$ 不能收敛于 $A$ . 这一矛盾说明了: 当定义 $\mathrm{I}$ 的条件得到满足时,定义 ${\mathrm{{II}}}_{1}$ 的条件也一定得到满足.

我们再来证明: 当定义 ${\mathrm{{II}}}_{1}$ 的条件得到满足时,定义 $\mathrm{I}$ 的条件也一定得到满足. 设对于任意的 $\varepsilon > 0$ ,存在 $\delta > 0$ ,使得只要 $0 < \left| {x - a}\right| < \delta$ ,就有

$$ \text{ 1 }\left| {f\left( x\right) - A}\right| < \varepsilon \text{ . } $$

则对于任何满足条件 ${x}_{n} \rightarrow a$ 的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( {a,\eta }\right)$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得 $n > N$ 时有

$$ 0 < \left| {{x}_{n} - a}\right| < \delta , $$

这时就有

$$ \left| {f\left( {x}_{n}\right) - A}\right| < \varepsilon . $$

这样,我们又证明了: 当定义 ${\mathrm{{II}}}_{1}$ 的条件得到满足时,定义 $\mathrm{I}$ 的条件也一定得到满足. 至此,我们证明了对所述的情形定义 $\mathrm{I}$ 与定义 ${\mathrm{{II}}}_{1}$ 的等价性.

从 $\varepsilon - \delta$ 定义出发,也很容易证明有关函数极限的运算法则.

引理 设 $a,A \in \mathbb{R},\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A$ . 则存在 $\eta > 0$ ,使得函数 $f$ 在 $\breve{U}\left( {a,\eta }\right)$ 上有界.

证明 对于 $\varepsilon = 1 > 0$ ,存在 $\eta > 0$ ,使得对于 $x \in \check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 有

$$ \left| {f\left( x\right) - A}\right| < 1\text{ . } $$

这时就有

$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq \left| {f\left( x\right) - A}\right| + \left| A\right| $$

$$ < 1 + \left| A\right| \text{ . } $$

引理 设 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A$ ,这里 $a,A \in \mathbb{R},A \neq 0$ . 则存在 $\eta > 0$ ,使得对于 $x \in \check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 有

$$ \left| {f\left( x\right) }\right| > \left| A\right| /2\text{ . } $$

证明 对于 $\varepsilon = \left| A\right| /2 > 0$ ,存在 $\eta > 0$ ,使得对于 $x \in \check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 有

$$ \left| {f\left( x\right) - A}\right| < \left| A\right| /2\text{ . } $$

这时就有

$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \geq \left| A\right| - \left| {f\left( x\right) - A}\right| $$

$$ > \left| A\right| - \left| A\right| /2 = \left| A\right| /2\text{ . } $$

定理 3’ 设 $a,A,B \in \mathbb{R},\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) = B$ ,则

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\left( {f\left( x\right) \pm g\left( x\right) }\right) = A \pm B; $$

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\left( {f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) }\right) = A \cdot B; $$

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}1/f\left( x\right) = 1/A\left( {A \neq 0}\right) . $$

证明 我们有不等式

$$ \left| {\left( {f\left( x\right) \pm g\left( x\right) }\right) - \left( {A \pm B}\right) }\right| $$

$$ \leq \left| {f\left( x\right) - A}\right| + \left| {g\left( x\right) - B}\right| . $$

对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 ${\delta }_{1},{\delta }_{2} > 0$ ,使得

$$ 0 < \left| {x - a}\right| < {\delta }_{1}\text{ 时, }\left| {f\left( x\right) - A}\right| < \varepsilon /2\text{ , } $$

$$ 0 < \left| {x - a}\right| < {\delta }_{2}\text{ 时, }\left| {g\left( x\right) - B}\right| < \varepsilon /2\text{ . } $$

令 $\displaystyle{\delta = \min \left\{ {{\delta }_{1},{\delta }_{2}}\right\}}$ ,则对于

$$ 0 < \left| {x - a}\right| < \delta , $$

就有

$$ \left| {\left( {f\left( x\right) \pm g\left( x\right) }\right) - \left( {A \pm B}\right) }\right| $$

$$ \leq \left| {f\left( x\right) - A}\right| + \left| {g\left( x\right) - B}\right| $$

$$ < \varepsilon /2 + \varepsilon /2 = \varepsilon \text{ . } $$

这就证明了第一个公式.

其他两个公式的证明可仿此做出. 请读者自行补足证明的细节. 我们这里只写出所用到的不等式: 存在 $\eta > 0$ ,使得对于 $x \in \check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 有

$$ \left| {f\left( x\right) g\left( x\right) - {AB}}\right| $$

$$ = \left| {f\left( x\right) g\left( x\right) - {Ag}\left( x\right) + {Ag}\left( x\right) - {AB}}\right| $$

$$ \leq \left| {f\left( x\right) - A}\right| \left| {g\left( x\right) }\right| + \left| A\right| \left| {g\left( x\right) - B}\right| $$

$$ \leq K\left| {f\left( x\right) - A}\right| + L\left| {g\left( x\right) - B}\right| $$

$$ \left( {K = \left| B\right| + 1,L = \left| A\right| + 1}\right) $$

和

$$ \left| {\frac{1}{f\left( x\right) } - \frac{1}{A}}\right| = \frac{\left| A - f\left( x\right) \right| }{\left| f\left( x\right) A\right| } $$

$$ \leq \frac{2}{{\left| A\right| }^{2}}\left| {A - f\left( x\right) }\right| . $$

在证明极限的以下一些性质的时候,采用 $\varepsilon - \delta$ 式定义比较便利.

定理 6 设 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) < \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right)$ ,则存在 $\delta > 0$ ,使得对于 $x \in$ $\check{U}\left( {a,\delta }\right)$ 有

$$ f\left( x\right) < g\left( x\right) \text{ . } $$

证明 设 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) = B$ ,有 $A < B$ . 则对于 $\varepsilon =$ $\left( {B - A}\right) /2 > 0$ ,存在 ${\delta }_{1},{\delta }_{2} > 0$ ,使得

$$ 0 < \left| {x - a}\right| < {\delta }_{1}\text{ 时, }A - \varepsilon < f\left( x\right) < A + \varepsilon \text{ , } $$

$$ 0 < \left| {x - a}\right| < {\delta }_{2}\text{ 时, }B - \varepsilon < g\left( x\right) < B + \varepsilon \text{ . } $$

记 $\displaystyle{\delta = \min \left\{ {{\delta }_{1},{\delta }_{2}}\right\}}$ ,则对于 $x \in \check{U}\left( {a,\delta }\right)$ 就有

$$ f\left( x\right) < A + \varepsilon = B - \varepsilon < g\left( x\right) . $$

注记 定理 6 的几种常常遇到的特殊情形如下:

(1)设 $f\left( x\right) \equiv A$ 是常函数,这时定理成为: 如果 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) > A$ ,

那么存在 $\delta > 0$ ,使得对于 $x \in \check{U}\left( {a,\delta }\right)$ 有

$$ g\left( x\right) > A\text{ ; } $$

(2)设 $g\left( x\right) \equiv B$ 是常函数,这时定理成为: 如果 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) < B$ ,

那么存在 $\delta > 0$ ,使得对于 $x \in \check{U}\left( {a,\delta }\right)$ 有

$$ f\left( x\right) < B\text{ ; } $$

(3)综合(1)和(2),我们得到:如果

$$ A < \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}h\left( x\right) < B, $$

那么存在 $\delta > 0$ ,使得对于 $x \in \check{U}\left( {a,\delta }\right)$ 有

$$ A < h\left( x\right) < B\text{ . } $$

推论 如果在 $a$ 的去心邻域 $\check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 中有

$$ f\left( x\right) \leq g\left( x\right) , $$

并且存在极限

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}g\left( x\right) = B, $$

那么就有

$$ A \leq B\text{ . } $$

定理 7 (关于函数极限的收敛原理) 设函数 $f\left( x\right)$ 在 $\check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 上有定义. 则使得有穷极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right)$ 存在的充要条件是: 对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 $\delta > 0$ ,使得只要 $x$ 和 ${x}^{\prime }$ 适合

$$ 0 < \left| {x - a}\right| < \delta ,\;0 < \left| {{x}^{\prime } - a}\right| < \delta , $$

就有

$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}^{\prime }\right) }\right| < \varepsilon . $$

证明 必要性 设 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A \in \mathbb{R}$ . 则对于任意 $\varepsilon > 0$ ,存在

$\delta > 0$ ,使得

$$ 0 < \left| {x - a}\right| < \delta \Rightarrow \left| {f\left( x\right) - A}\right| < \varepsilon /2. $$

于是, 只要

$$ 0 < \left| {x - a}\right| < \delta ,\;0 < \left| {{x}^{\prime } - a}\right| < \delta , $$

就有

$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}^{\prime }\right) }\right| \leq \left| {f\left( x\right) - A}\right| + \left| {f\left( {x}^{\prime }\right) - A}\right| $$

$$ < \varepsilon /2 + \varepsilon /2 = \varepsilon \text{ . } $$

充分性 设对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 $\delta > 0$ ,使得只要 $0 < \left| {x - a}\right| < \delta$ , $0 < \left| {{x}^{\prime } - a}\right| < \delta$ ,就有 $\left| {f\left( x\right) - f\left( {x}^{\prime }\right) }\right| < \varepsilon$ . 我们来证明这时一定存在有穷极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right)$ . 设序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 满足条件 ${x}_{n} \rightarrow a$ ,则存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得 $n > N$ 时有

$$ 0 < \left| {{x}_{n} - a}\right| < \delta \text{ . } $$

于是,当 $m,n > N$ 时,就有

$$ \left| {f\left( {x}_{m}\right) - f\left( {x}_{n}\right) }\right| < \varepsilon . $$

根据序列的收敛原理可以断定: $\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\}$ 收敛. 我们证明了: 任何满足条件 ${x}_{n} \rightarrow a$ 的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 都使得相应的函数值序列 $\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\}$ 收敛. 据此又可断定: 所有这样的序列 $\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\}$ 都收敛于同一极限 $A$ . 我们用反证法证明这后一论断. 假设存在序列 $\left\{ {{x}^{\prime }{}_{n}}\right\}$ 和 $\left\{ {x}^{\prime \prime }\right\}$ ,满足条件

$$ \left\{ {x}_{n}^{\prime }\right\} ,\left\{ {x}_{n}^{\prime \prime }\right\} \subset \check{U}\left( {a,\eta }\right) , $$

$$ {x}_{n}^{\prime } \rightarrow a,\;{x}_{n}^{\prime \prime } \rightarrow a, $$

$$ \lim f\left( {x}_{n}^{\prime }\right) = {A}^{\prime },\;\lim f\left( {x}_{n}^{\prime \prime }\right) = {A}^{\prime \prime },\;{A}^{\prime } \neq {A}^{\prime \prime }, $$

那么我们可以定义一个序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 如下:

$$ {x}_{n} = \left\{ \begin{array}{ll} {x}_{k}^{\prime }, & \text{ 如果 }n = {2k} - 1, \\ {x}_{k}^{\prime \prime }, & \text{ 如果 }n = {2k}. \end{array}\right. $$

序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 满足条件 ${x}_{n} \rightarrow a$ ,但 $\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\}$ 不收敛,与上面已证明的结果矛盾. 这样,我们证明了,任何满足条件 ${x}_{n} \rightarrow a$ 的序列 $\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 都使得相应的函数值序列 $\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\}$ 收敛于同一值 $A$ . 这就是说

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A\text{ . } $$

在定义 I 中,包括了: $\displaystyle{a \in \mathbb{R},a = + \infty ,a = - \infty}$ 或 $\displaystyle{a = \infty}$ 与 $\displaystyle{A \in \mathbb{R},A = + \infty ,A = - \infty}$ 或 $\displaystyle{A = \infty}$ 等各种情形 $(a$ 与 $A$ 相配合共有十六种情形). 而定义 ${\mathbb{{II}}}_{1}$ 只涉及其中 $a \in \mathbb{R},A \in \mathbb{R}$ 这一种情形. 但其他所有的情形都可采取类似的方式加以处理. 我们这里举例加以介绍, 不再一一详述.

定义 ${\mathbb{{II}}}_{2}$ ( $\displaystyle{a = + \infty ,A \in \mathbb{R}}$ 的情形) 设函数 $f\left( x\right)$ 对于 $x > H$ 有定义. 如果对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 $\Delta > 0$ ,使得只要 $x > \Delta$ 就有

$$ \left| {f\left( x\right) - A}\right| < \varepsilon , $$

那么我们就说: 当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时函数 $f\left( x\right)$ 的极限是 $A$ ,记为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A $$

定义 $\displaystyle{\mathbb{{II}}}_{3}\left( {a \in \mathbb{R},A = + \infty }\right.}$ 的情形) 设函数 $f\left( x\right)$ 在 $a$ 点的去心邻域 $\check{U}\left( {a,\eta }\right)$ 上有定义. 如果对任意 $E > 0$ ,存在 $\delta > 0$ ,使得只要

$$ 0 < \left| {x - a}\right| < \delta , $$

就有

$$ f\left( x\right) > E, $$

那么我们就说: 当 $x \rightarrow a$ 时函数 $f\left( x\right)$ 的极限是 $\displaystyle{+ \infty}$ ,记为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = + \infty . $$

定义 ${\mathbb{{II}}}_{4}$ ( $\displaystyle{a = + \infty ,A = + \infty}$ 的情形) 设函数 $f\left( x\right)$ 对于 $x > H$ 有定义. 如果对任意 $E > 0$ ,存在 $\Delta > 0$ ,使得只要 $x > \Delta$ ,就有

$$ f\left( x\right) > E, $$

那么我们就说: 当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时函数 $f\left( x\right)$ 的极限是 $\displaystyle{+ \infty}$ ,记为

$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty . $$

其他情形的第二种定义也都可以仿照这些格式写出.

对所有这些情形, 第二种定义与第一种定义的相应情形的等价性, 都可以仿照定理 7 予以证明.

收敛原理可适用于判断函数趋于有穷极限的一切情形. 例如, $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时函数 $f\left( x\right)$ 趋于有穷极限的充要条件是: 对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 $\Delta > 0$ ,使得只要 $x,{x}^{\prime } > \Delta$ ,就有

$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}^{\prime }\right) }\right| < \varepsilon . $$

对所有这些情形, 收敛原理的陈述和证明都可仿照定理 7 做出.