📝 题目
例 3 在第二章 §5 中,我们还证明了
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\sin x = \sin {x}_{0} $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\cos x = \cos {x}_{0}. $$
由此容易得到
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\tan x = \tan {x}_{0}\;\left( {{x}_{0} \neq {k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right) , $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\cot x = \cot {x}_{0}\;\left( {{x}_{0} \neq {l\pi }}\right) . $$
因而基本三角函数在它们有定义的地方都是连续的.
以下一些结果很容易从关于极限的相应结果导出.
定理 1 设函数 $f$ 在 ${x}_{0}$ 点连续,则存在 $\delta > 0$ ,使得函数 $f$ 在 $U\left( {{x}_{0},\delta }\right)$ 上有界.
定理 2 设函数 $f\left( x\right)$ 和 $g\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续,则
(1) $f\left( x\right) \pm g\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 处连续;
(2) $f\left( x\right) \cdot g\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 处连续;
(3) $\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }$ 在使得 $g\left( {x}_{0}\right) \neq 0$ 的 ${x}_{0}$ 处连续.
注记 因为常值函数 $f\left( x\right) \equiv c$ 在任意 ${x}_{0}$ 点连续,所以从 (2) 可以得到:
(4) ${cg}\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续.
定理 3 设函数 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续,则函数 $\left| {f\left( x\right) }\right|$ 也在 ${x}_{0}$ 点连续.
💡 答案与解析
证明 我们有
$$ \left| \right| f\left( x\right) \left| -\right| f\left( {x}_{0}\right) \left| \right| \leq \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right| . $$
定理 4 设函数 $f\left( x\right)$ 和 $g\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续. 如果 $f\left( {x}_{0}\right) <$ $g\left( {x}_{0}\right)$ ,那么存在 $\delta > 0$ ,使得对于 $x \in U\left( {{x}_{0},\delta }\right)$ 有
$$ f\left( x\right) < g\left( x\right) \text{ . } $$
注记 这定理的以下特殊情形常常遇到:
(1)设 $f\left( x\right) \equiv A$ 是常值函数. 这时定理 4 成为:如果 $g\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续, $g\left( {x}_{0}\right) > A$ ,那么存在 $\delta > 0$ ,使得对于 $x \in U\left( {{x}_{0},\delta }\right)$ 有
$$ g\left( x\right) > A\text{ . } $$
(2)设 $g\left( x\right) \equiv B$ 是常值函数. 这时定理 4 成为: 如果 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续, $f\left( {x}_{0}\right) < B$ ,那么存在 $\delta > 0$ ,使得对于 $x \in U\left( {{x}_{0},\delta }\right)$ 有
$$ f\left( x\right) < B\text{ . } $$
(3)综合(1)和(2)的结果,我们得到:如果 $h\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续, $A < h\left( {x}_{0}\right) < B$ ,那么存在 $\delta > 0$ ,使得对于 $x \in U\left( {{x}_{0},\delta }\right)$ 有
$$ A < h\left( x\right) < B\text{ . } $$
以下结果当然也可以从极限的有关定理导出, 但由于它特别重要,我们再一次写出证明 (这一次用 $\varepsilon - \delta$ 方式).
定理 5 (复合函数的连续性) 设函数 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续,函数 $g\left( y\right)$ 在 ${y}_{0} = f\left( {x}_{0}\right)$ 点连续,那么复合函数 $g \circ f\left( x\right) = g\left( {f\left( x\right) }\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续.
证明 对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 $\sigma > 0$ ,使得只要 $\left| {y - {y}_{0}}\right| < \sigma$ ,就有
$$ \left| {g\left( y\right) - g\left( {y}_{0}\right) }\right| < \varepsilon . $$
对这 $\sigma > 0$ ,又存在 $\delta > 0$ ,使得只要 $\left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta$ ,就有
$$ \left| {f\left( x\right) - {y}_{0}}\right| = \left| {f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right| < \sigma . $$
于是,当 $\left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta$ 时,就有
$$ \left| {g \circ f\left( x\right) - g \circ f\left( {x}_{0}\right) }\right| = \left| {g\left( {f\left( x\right) }\right) - g\left( {f\left( {x}_{0}\right) }\right) }\right| $$
$$ = \left| {g\left( {f\left( x\right) }\right) - g\left( {y}_{0}\right) }\right| < \varepsilon . $$
有时候,我们只关心函数 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点的某一侧 (左侧或右侧) 的变化,或者需要分别考察函数 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点各侧的变化. 与这些情形相适应, 有单侧连续性的概念.
定义 设函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {{x}_{0} - \eta ,{x}_{0}}\right\rbrack$ 上有定义. 如果
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} - }}f\left( x\right) = f\left( {x}_{0}\right) , $$
那么我们就说函数 $f$ 在 ${x}_{0}$ 点左侧连续.
类似地可以定义右侧连续.
我们引入记号:
$$ f\left( {{x}_{0} - }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} - }}f\left( x\right) ,\;f\left( {{x}_{0} + }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0} + }}f\left( x\right) . $$
于是,函数 $f$ 在 ${x}_{0}$ 点左侧连续的定义可以写成:
$$ f\left( {{x}_{0} - }\right) = f\left( {x}_{0}\right) ; $$
而函数 $f$ 在 ${x}_{0}$ 点右侧连续的定义可以写成:
$$ f\left( {{x}_{0} + }\right) = f\left( {x}_{0}\right) . $$
我们知道,极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right)$ 存在的充要条件是两个单侧极限存在并且相等, 即
$$ f\left( {{x}_{0} - }\right) = f\left( {{x}_{0} + }\right) . $$
当上述条件满足时就有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = f\left( {{x}_{0} - }\right) = f\left( {{x}_{0} + }\right) . $$
因而,函数 $f$ 在 ${x}_{0}$ 点连续的定义可以写成
$$ f\left( {{x}_{0} - }\right) = f\left( {{x}_{0} + }\right) = f\left( {x}_{0}\right) . $$
从这些讨论, 我们得到:
定理 6 设函数 $f\left( x\right)$ 在 $U\left( {{x}_{0},\eta }\right)$ 上有定义,则 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点连续的充要条件是它在这点左侧连续并且右侧连续.
现在,设函数 $f\left( x\right)$ 在 $U\left( {{x}_{0},\eta }\right)$ 有定义但在 ${x}_{0}$ 点不连续. 依上面的讨论, 这时必出现以下两种情形之一.
情形 1 函数 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点的两个单侧极限 $f\left( {{x}_{0} - }\right)$ 和 $f\left( {{x}_{0} + }\right)$ 都存在,但
$$ f\left( {{x}_{0} - }\right) \neq f\left( {{x}_{0} + }\right) $$
或者
$$ f\left( {{x}_{0} - }\right) = f\left( {{x}_{0} + }\right) \neq f\left( {x}_{0}\right) ; $$
情形 2 函数 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点的至少一个单侧极限不存在.
定义 设函数 $f\left( x\right)$ 在 $U\left( {{x}_{0},\eta }\right)$ 上有定义,在 ${x}_{0}$ 点不连续. 如果出现上述情形 1,那么我们就说 ${x}_{0}$ 点是函数 $f$ 的第一类间断点; 如果出现上述情形 2,那么我们就说 ${x}_{0}$ 点是函数 $f$ 的第二类间断点.