📝 题目
例 1 设函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续并且满足 $f\left( \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \right) \subset$ $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ (这就是说: $f\left( x\right) \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack ,\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ). 试证明存在 $c \in$ $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得
$$ f\left( c\right) = c, $$
(这样的点 $c$ 称为 $f$ 的一个不动点. 本例说明:把 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 映入 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 之中的连续函数必定有不动点. 这是著名的布劳威尔 (Brouwer) 不动点定理的一个特殊情形. )
💡 答案与解析
证明 记 $g\left( x\right) = f\left( x\right) - x$ ,则函数 $g\left( x\right)$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续. 由条件
$$ a \leq f\left( x\right) \leq b,\;\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack , $$
可知
$$ f\left( a\right) \geq a,\;f\left( b\right) \leq b, $$
即
$$ g\left( a\right) \geq 0,\;g\left( b\right) \leq 0. $$
如果 $g\left( a\right) = 0$ (或者 $g\left( b\right) = 0$ ),那么 $c = a$ (或者 $c = b$ ) 就满足要求:
$$ g\left( c\right) = 0,\;f\left( c\right) = c. $$
如果 $g\left( a\right) > 0 > g\left( b\right)$ ,那么 (根据定理 1) 存在 $c \in \left( {a,b}\right)$ ,使得
$$ g\left( c\right) = 0,\;f\left( c\right) = c. $$
定理 1 不但在理论上很重要, 而且还为我们提供了求方程的根的一种近似方法——对分区间法.