📝 题目
例 2 考察方程 ${x}^{3} - {2x} - 5 = 0$ . 我们记
$$ f\left( x\right) = {x}^{3} - {2x} - 5. $$
因为
$$ f\left( 2\right) = - 1 < 0 < f\left( 3\right) = {16}, $$
所以方程 $f\left( x\right) = 0$ 在(2,3)中有一个根. 我们用对分区间法求此根的近似值, 得到如下的结果: 我们取根的近似值
$$ \widetilde{c} = \frac{{2.09375} + {2.109375}}{2} = {2.1015625}. $$
\begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|} \hline 判别 $f\left( {a}_{k}\right) < 0 < f\left( {b}_{k}\right)$ & 确定根的范围 $\left( {{a}_{k},{b}_{k}}\right)$ \\ \cline{1-2} $f\left( 2\right) < 0 < f\left( 3\right)$ & (2,3) \\ \cline{1-2} $f\left( 2\right) < 0 < f\left( {2.5}\right)$ & (2,2.5) \\ \cline{1-2} $f\left( 2\right) < 0 < f\left( {2.25}\right)$ & (2,2.25) \\ \cline{1-2} $f\left( 2\right) < 0 < f\left( {2.125}\right)$ & (2,2.125) \\ \cline{1-2} $f\left( {2.0625}\right) < 0 < f\left( {2.125}\right)$ & (2.0625,2.125) \\ \cline{1-2} $f\left( {2.09375}\right) < 0 < f\left( {2.125}\right)$ & (2.09375, 2.125) \\ \cline{1-2} $f\left( {2.09375}\right) < 0 < f\left( {2.109375}\right)$ & (2.09375, 2.109375) \\ \cline{1-2} \hline \end{tabular} } \end{center}
误差的界为
$$ \left| {\widetilde{c} - c}\right| \leq \frac{1}{{2}^{7}} = \frac{1}{128} = {0.0078125}. $$
以下的介值定理是定理 1 的推广.
定理 2 (介值定理) 设函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续. 如果在这闭区间的两端点的函数值 $f\left( a\right) = \alpha$ 与 $f\left( b\right) = \beta$ 不相等,那么在这两点之间函数 $f$ 能够取得介于 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的任意值 $\gamma$ . 这就是说,如果 $f\left( a\right) < \gamma < f\left( b\right)$ (或者 $f\left( a\right) > \gamma > f\left( b\right)$ ),那么存在 $c \in \left( {a,b}\right)$ ,使得
$$ f\left( c\right) = \gamma . $$
💡 答案与解析
证明 考察函数 $g\left( x\right) = f\left( x\right) - \gamma$ . 显然函数 $g$ 在闭区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续, 并且在该闭区间的两端点取异号的值. 由定理 1 可知: 存在 $c \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 $g\left( c\right) = 0$ ,即
$$ f\left( c\right) = \gamma . $$