📝 题目
例 1 考察函数
$$ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \sin \frac{1}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. $$
我们看到函数 $f$ 把区间 $I = \left\lbrack {-\eta ,\eta }\right\rbrack \left( {\eta > 0}\right)$ 映成区间 $J = \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ , 但 $f$ 并不连续.
但是, 对于一类比较特殊的函数——单调函数, 定理 1 的逆命题是成立的.
定理 2 设函数 $f$ 在区间 $I$ 上单调. 则 $f$ 在 $I$ 连续的充要条件为: $f\left( I\right)$ 也是一个区间.
💡 答案与解析
证明 必要性部分即定理 1. 这里证明条件的充分性. 设 $f$ 在 $I$ 上递增并且 $f\left( I\right)$ 是一个区间. 我们来证明 $f$ 在 $I$ 连续 (用反证法). 假设 $f$ 在 ${x}_{0} \in I$ 处不连续,那么至少出现以下两种情形之一: 或者 $f\left( {{x}_{0} - }\right) < f\left( {x}_{0}\right)$ ,或者 $f\left( {x}_{0}\right) < f\left( {{x}_{0} + }\right)$ . 对这两种情形,我们分别用 $\left( {\lambda ,\rho }\right)$ 表示 $\left( {f\left( {{x}_{0} - }\right) ,f\left( {x}_{0}\right) }\right)$ 或者 $\left( {f\left( {x}_{0}\right) ,f\left( {{x}_{0} + }\right) }\right)$ . 于是,在开区间 $\left( {\lambda ,\rho }\right)$ 的两侧都有集合 $f\left( I\right)$ 中的点,但由于函数 $f$ 的单调性, 任何 $\gamma \in \left( {\lambda ,\rho }\right)$ 都不在集合 $f\left( I\right)$ 之中,因而 $f\left( I\right)$ 不能是一个区间. 这一矛盾说明 $f$ 必须在 $I$ 的每一点连续.
设函数 $f$ 在区间 $I$ 连续,则 $J = f\left( I\right)$ 也是一个区间. 如果函数 $f$ 在区间 $I$ 上还是严格单调的,那么 $f$ 是从 $I$ 到 $J = f\left( I\right)$ 的一一对应. 这时,对任意 $y \in J = f\left( I\right)$ ,恰好只有一个 $x \in I$ 能使得 $f\left( x\right) = y$ . 我们定义一个函数 $g$ 如下: 对任意 $y \in J$ ,函数值 $g\left( y\right)$ 规定为由关系 $f\left( x\right) = y$ 所决定的唯一的 $x \in I$ . 这样定义的函数 $g$ 称为函数 $f$ 的反函数,记为
$$ g = {f}^{-1}. $$
我们看到,函数 $f$ 及其反函数 $g = {f}^{-1}$ 满足如下关系:
$$ g\left( y\right) = x \Leftrightarrow f\left( x\right) = y. $$
定理 3 设函数 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调并且连续,则它的反函数 $g = {f}^{-1}$ 在区间 $J = f\left( I\right)$ 上严格单调并且连续.
证明 我们对函数 $f$ 在区间 $I$ 上严格递增并且连续的情形给出证明 (函数 $f$ 在区间 $I$ 上严格递减并且连续的情形可类似地讨论). 对于任意的 ${y}_{1},{y}_{2} \in J,{y}_{1} < {y}_{2}$ ,我们来比较 ${x}_{1} = g\left( {y}_{1}\right)$ 与 ${x}_{2} =$ $g\left( {y}_{2}\right)$ 的大小. 首先,不能有 ${x}_{1} = {x}_{2}$ ,否则将有 ${y}_{1} = f\left( {x}_{1}\right) =$ $f\left( {x}_{2}\right) = {y}_{2}$ ; 其次,也不能有 ${x}_{1} > {x}_{2}$ ,否则将有 ${y}_{1} = f\left( {x}_{1}\right) >$ $f\left( {x}_{2}\right) = {y}_{2}$ . 因而,只能有 ${x}_{1} < {x}_{2}$ ,即 $g\left( {y}_{1}\right) < g\left( {y}_{2}\right)$ . 这样,我们证明了函数 $g$ 在区间 $J$ 上严格递增. 又因为 $g\left( J\right) = I$ 是一个区间,所以 $g$ 在 $J$ 连续.