📝 题目
例 7 .
II .
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} $$
我们来证明 II. 首先, 根据定义有
$$ \lim {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n} = \mathrm{e} $$
由此可得
$$ \lim {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n + 1} = \lim {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n} \cdot \lim \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) = \mathrm{e} $$
$$ \lim {\left( 1 + \frac{1}{n + 1}\right) }^{n} = \frac{\lim {\left( 1 + \frac{1}{n + 1}\right) }^{n + 1}}{\lim \left( {1 + \frac{1}{n + 1}}\right) } = \mathrm{e} $$
于是,对任意 $\varepsilon > 0$ ,存在 $N \in \mathbb{N}$ ,使得 $n > N$ 时有
$$ \mathrm{e} - \varepsilon < {\left( 1 + \frac{1}{n + 1}\right) }^{n} < {\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{n + 1} < \mathrm{e} + \varepsilon . $$
取 $\Delta = N + 1$ ,则当 $x > \Delta$ 时就有 $\left\lbrack x\right\rbrack > N$ ,因而有
$$ \mathrm{e} - \varepsilon < {\left( 1 + \frac{1}{\left\lbrack x\right\rbrack + 1}\right) }^{\left\lbrack x\right\rbrack } < {\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} $$
$$ < {\left( 1 + \frac{1}{\left\lbrack x\right\rbrack }\right) }^{\left\lbrack x\right\rbrack + 1} < \mathrm{e} + \varepsilon . $$
这证明了
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} $$
由此又可得到
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( 1 - \frac{1}{y}\right) }^{-y} = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( \frac{y}{y - 1}\right) }^{y} $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{y - 1}\right) }^{y} $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{{y \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{y - 1}\right) }^{y - 1}\left( {1 + \frac{1}{y - 1}}\right) = \mathrm{e}. $$
我们证明了
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} $$
因而有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}{\left( 1 + \frac{1}{x}\right) }^{x} = \mathrm{e} $$
II 的另一种表述为:
II ${}^{\prime }$ .
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}{\left( 1 + \alpha \right) }^{1/\alpha } = \mathrm{e} $$
利用对数函数的连续性, 我们得到
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{\ln \left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\ln {\left( 1 + \alpha \right) }^{1/\alpha } = \ln \mathrm{e} = 1. $$
类似地有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\log }_{b}\left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = {\log }_{b}\mathrm{e} = \frac{1}{\ln b}. $$
这样, 我们证明了:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{\ln \left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = 1, $$
III .
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\log }_{b}\left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } = \frac{1}{\ln b}. $$
由此又可得到
IV.
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha } - 1}{\alpha } = 1. $$
事实上,令 $\beta = {\mathrm{e}}^{a} - 1$ ,我们得到
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha } - 1}{\alpha } = \mathop{\lim }\limits_{{\beta \rightarrow 0}}\frac{\beta }{\ln \left( {1 + \beta }\right) } = 1. $$
类似地有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{a \rightarrow 0}}\frac{{b}^{a} - 1}{a} = \ln b. $$
最后, 我们有
V.
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\left( 1 + \alpha \right) }^{\mu } - 1}{\alpha } = \mu . $$
事实上
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\left( 1 + \alpha \right) }^{\mu } - 1}{\alpha } = \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) } - 1}{\alpha } $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{{\alpha \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) } - 1}{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) } \cdot \frac{\mu \ln \left( {1 + \alpha }\right) }{\alpha } $$
$$ = \mu \text{ . } $$
从上面的讨论, 我们得到涉及某些初等函数的量阶的一些公式. 这些公式在求某些极限时很有用处.
定理 3 对于极限过程 $x \rightarrow 0$ ,我们有:
(1) $\sin x = x + o\left( x\right) ,\tan x = x + o\left( x\right)$ ;
(2) $\cos x = 1 - \frac{1}{2}{x}^{2} + o\left( {x}^{2}\right)$ ;
(3) ${\mathrm{e}}^{x} = 1 + x + o\left( x\right)$ ;
(4) $\ln \left( {1 + x}\right) = x + o\left( x\right)$ ;
(5) ${\left( 1 + x\right) }^{\mu } = 1 + {\mu x} + o\left( x\right)$ .
💡 答案与解析
证明(1)我们有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x}{x} = 1, $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\tan x}{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x}{x}\frac{1}{\cos x} = 1. $$
(2)从关系式
$$ \frac{\cos x - 1}{-\frac{1}{2}{x}^{2}} = \frac{-2{\sin }^{2}\left( \frac{x}{2}\right) }{-\frac{1}{2}{x}^{2}} = {\left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right) }^{2} $$
可得
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\cos x - 1}{-\frac{1}{2}{x}^{2}} = 1. $$
(3) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{{\mathrm{e}}^{x} - 1}{x} = 1}$ .
(4) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\ln \left( {1 + x}\right) }{x} = 1$ .
(5) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{{\left( 1 + x\right) }^{\mu } - 1}{\mu x} = 1$ .
下面的定理说明, 在求乘积或商的极限的时候, 可以将任何一个因式用它的等价因式来替换.
定理 4 如果 $x \rightarrow a$ 时 $\psi \left( x\right) \sim \varphi \left( x\right)$ ,那么就有:
(1) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\psi \left( x\right) f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\varphi \left( x\right) f\left( x\right)$ ;
(2) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{\psi \left( x\right) f\left( x\right) }{g\left( x\right) } = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{\varphi \left( x\right) f\left( x\right) }{g\left( x\right) }$ ；
(3) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{f\left( x\right) }{\psi \left( x\right) g\left( x\right) } = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{f\left( x\right) }{\varphi \left( x\right) g\left( x\right) }$ .
这里,我们设所有的函数在 $a$ 点的某个去心邻域上有定义,作为分母的函数在这个去心邻域上不为 0 , 并设各式右端的极限存在.
证明 结论 (1) 的证明是这样的:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\psi \left( x\right) f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\left\lbrack {\left( \frac{\psi \left( x\right) }{\varphi \left( x\right) }\right) \cdot \left( {\varphi \left( x\right) f\left( x\right) }\right) }\right\rbrack $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\varphi \left( x\right) f\left( x\right) . $$
结论 (2) 与结论 (3) 的证明可仿此作出.
我们知道: $x \rightarrow 0$ 时有
$$ \sin x \sim x,\;\tan x \sim x,\;1 - \cos x \sim \frac{{x}^{2}}{2}, $$
$$ \ln \left( {1 + x}\right) \sim x,\;{\left( 1 + x\right) }^{\mu } - 1 \sim {\mu x}. $$
利用这些结果与定理 4 , 我们很容易求出以下各例中的极限.