📝 题目
例 2 设 $m \in \mathbb{N}$ ,试求函数 $f\left( x\right) = {x}^{m}$ 的导数.
💡 答案与解析
解 我们有
$$ \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = \frac{{\left( x + h\right) }^{m} - {x}^{m}}{h} $$
$$ = m{x}^{m - 1} + \frac{m\left( {m - 1}\right) }{2}{x}^{m - 2}h + \cdots + {h}^{m - 1}, $$
因而
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = m{x}^{m - 1}. $$