📝 题目
例 4 求幂函数 $f\left( x\right) = {x}^{\mu }\left( {x > 0}\right)$ 的导数 $(\mu \in \mathbb{Z}$ 的情形已见于例 1,2,3. 这里讨论 $\mu \in \mathbb{R}$ 的一般的情形).
💡 答案与解析
解 我们有
$$ \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = \frac{{\left( x + h\right) }^{\mu } - {x}^{\mu }}{h} $$
$$ = {x}^{\mu }\frac{{\left( 1 + h/x\right) }^{\mu } - 1}{h} = {x}^{\mu - 1}\frac{{\left( 1 + h/x\right) }^{\mu } - 1}{h/x}, $$
因而
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} $$
$$ = {x}^{\mu - 1}\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{{\left( 1 + h/x\right) }^{\mu } - 1}{h/x} = \mu {x}^{\mu - 1}. $$
特别地,对于 $\mu = 1/2$ 和 $\mu = - 1/2$ ,我们有
$$ {\left( \sqrt{x}\right) }^{\prime } = {\left( {x}^{1/2}\right) }^{\prime } = \frac{1}{2}{x}^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, $$
$$ {\left( \frac{1}{\sqrt{x}}\right) }^{\prime } = {\left( {x}^{-1/2}\right) }^{\prime } = - \frac{1}{2}{x}^{-3/2} = - \frac{1}{2\sqrt{{x}^{3}}}. $$