📝 题目
例 7 求函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}$ 和 $g\left( x\right) = {a}^{x}\left( {a > 0}\right)$ 的导数.
💡 答案与解析
解 我们有
$$ \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = \frac{{\mathrm{e}}^{x + h} - {\mathrm{e}}^{x}}{h} = {\mathrm{e}}^{x}\frac{{\mathrm{e}}^{h} - 1}{h}, $$
因而
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = {\mathrm{e}}^{x}. $$
类似地可以证明
$$ {g}^{\prime }\left( x\right) = {a}^{x}\ln a. $$
以 $\mathrm{e}$ 为底的指数函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}$ 具有一个极好的性质:
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = f\left( x\right) . $$
这一事实在数学理论和自然科学的研究中有极其重要的应用.