📝 题目
例 10 考察函数 $f\left( x\right) = \left| x\right|$ 在 $x = 0$ 处是否可导 (见图 4-2).
💡 答案与解析
解 我们看到
$$ \frac{f\left( {0 + h}\right) - f\left( 0\right) }{h} = \frac{\left| h\right| }{h} = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \text{ 如果 }h > 0, \\ - 1, & \text{ 如果 }h < 0, \end{array}\right. $$
于是
$$ {f}_{ - }^{\prime }\left( 0\right) = - 1,\;{f}_{ + }^{\prime }\left( 0\right) = + 1. $$
因而函数 $f$ 在 $x = 0$ 处的导数不存在. 容易看出,在 $x \neq 0$ 的地方,函数 $f$ 的导数总是存在的:
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \text{ 如果 }x > 0, \\ - 1, & \text{ 如果 }x < 0. \end{array}\right. $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/008.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 4-2