📝 题目
例 11 考察函数 $g\left( x\right)$ 在 $x = 0$ 处是否可导,这里
$$ g\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} x\sin \frac{1}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. $$
💡 答案与解析
解 我们有
$$ \frac{g\left( {0 + h}\right) - g\left( 0\right) }{h} = \sin \frac{1}{h}. $$
因为当 $h \rightarrow 0$ 时上式没有极限,所以函数 $g$ 在 $x = 0$ 处不可导. 还可以证明函数 $g$ 在 $x = 0$ 处没有任何一个单侧导数.