📝 题目
例 2 中,为了考察函数 $p\left( x\right) = {x}^{m}$ 在 $x$ 点的可导性,我们将函数的增量
$$ p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) $$
按 $h$ 的方幂展开:
$$ p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) $$
$$ = m{x}^{m - 1}h + \frac{m\left( {m - 1}\right) }{2}{x}^{m - 2}{h}^{2} + \cdots + {h}^{m}. $$
其实,为了考察可导性,并不需要了解 $h$ 的高次项的具体的形式,仅仅需要这样的信息: 它们是一些高于一次的项, 即
$$ p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) = m{x}^{m - 1}h + o\left( h\right) . $$
由此可得
$$ \frac{p\left( {x + h}\right) - p\left( x\right) }{h} = m{x}^{m - 1} + \frac{o\left( h\right) }{h}, $$
让 $h \rightarrow 0$ 即得到
$$ {p}^{\prime }\left( x\right) = m{x}^{m - 1}. $$
定义 设函数 $f\left( x\right)$ 在 $x$ 点邻近有定义,如果
$$ f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) = {Ah} + o\left( h\right) , $$
其中 $A$ 与 $h$ 无关 (可以依赖于 $x$ ),那么我们就说函数 $f$ 在 $x$ 点可微.
定理 3 函数 $f$ 在 $x$ 点可导的充要条件是它在这点可微.
💡 答案与解析
证明 充分性 如果
$$ f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) = {Ah} + o\left( h\right) , $$
那么
$$ \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = A + \frac{o\left( h\right) }{h}, $$
因而 $f\left( x\right)$ 在 $x$ 点可导:
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = A. $$
必要性 如果存在极限
$$ \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} = {f}^{\prime }\left( x\right) , $$
那么当 $h \rightarrow 0$ 时
$$ \alpha \left( h\right) = \frac{f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }{h} - {f}^{\prime }\left( x\right) \rightarrow 0, $$
并且有
$$ f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right) h + \alpha \left( h\right) h. $$
这就是说
$$ f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right) h + o\left( h\right) . $$
注记 (1) 由于这定理的缘故, 人们把可导和可微这两个术语当作同义词来使用. 求导数的方法又称为微分法.
(2)在定理的证明过程中,我们看到:从表示式
$$ f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) = {Ah} + o\left( h\right) , $$
可以断定
$$ A = {f}^{\prime }\left( x\right) \text{ . } $$
由此可知: 上述表示式中 $h$ 的系数 $A$ 是唯一确定的.
定理 4 设函数 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点可微 (可导),那么它在这点连续.
证明 我们有
$$ f\left( {{x}_{0} + h}\right) - f\left( {x}_{0}\right) = {Ah} + o\left( h\right) , $$
因而
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}f\left( {{x}_{0} + h}\right) = f\left( {x}_{0}\right) . $$
注记 定理 4 之逆并不成立. 如