📝 题目
例 5 考察函数
$$ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {x}^{2}\sin \frac{1}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. $$
我们看到,函数 $f\left( x\right)$ 在 $x = 0$ 处可导,
$$ {f}^{\prime }\left( 0\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {0 + h}\right) - f\left( 0\right) }{h} $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}h\sin \frac{1}{h} = 0. $$
但在 0 点的任意邻近,仍有 $x = \frac{1}{n\pi }$ ( $n$ 是绝对值充分大的整数) 使得 $f\left( x\right) = f\left( 0\right)$ .
虽说如此, 上面的分析仍给我们有益的启发. 其实只要把上面的表示方式稍做改变, 就能得到正确的证明.
定理 2 设函数 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点可导,函数 $g\left( y\right)$ 在 ${y}_{0} = f\left( {x}_{0}\right)$ 点可导,则复合函数 $\varphi \left( x\right) = g \circ f\left( x\right)$ 也在 ${x}_{0}$ 点可导,并且
$$ {\varphi }^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( {x}_{0}\right) }\right) {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) . $$
💡 答案与解析
证明 考察辅助函数
$$ \psi \left( y\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{g\left( y\right) - g\left( {f\left( {x}_{0}\right) }\right) }{y - f\left( {x}_{0}\right) }, & \text{ 如果 }y \neq f\left( {x}_{0}\right) , \\ {g}^{\prime }\left( {f\left( {x}_{0}\right) }\right) , & \text{ 如果 }y = f\left( {x}_{0}\right) . \end{array}\right. $$
显然这函数在 $f\left( {x}_{0}\right)$ 点连续. 另外,我们有
$$ \frac{\varphi \left( x\right) - \varphi \left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} = \psi \left( {f\left( x\right) }\right) \frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}. \tag{2.2} $$
事实上,对于 $f\left( x\right) \neq f\left( {x}_{0}\right)$ 的情形,(2.2) 式就成为前面讨论中的 (2.1)式. 如果 $f\left( x\right) = f\left( {x}_{0}\right)$ ,那么 (2.2) 式就是
$$ \frac{g\left( {f\left( x\right) }\right) - g\left( {f\left( {x}_{0}\right) }\right) }{x - {x}_{0}} = 0 = {g}^{\prime }\left( {f\left( {x}_{0}\right) }\right) \frac{f\left( x\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}}. $$
在 (2.2) 式中让 $x \rightarrow {x}_{0}$ 就得到
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow {x}_{0}}}\frac{\varphi \left( x\right) - \varphi \left( {x}_{0}\right) }{x - {x}_{0}} = \psi \left( {f\left( {x}_{0}\right) }\right) {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) $$
$$ = {g}^{\prime }\left( {f\left( {x}_{0}\right) }\right) {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) . $$
这证明了定理的结论.
下面, 我们来介绍复合函数求导法则的另一表示方式. 将复合函数 $f\left( {\varphi \left( t\right) }\right)$ 对 $t$ 求导得:
$$ {\left( f\left( \varphi \left( t\right) \right) \right) }^{\prime } = {f}^{\prime }\left( {\varphi \left( t\right) }\right) {\varphi }^{\prime }\left( t\right) . $$
上式两边都乘以 $\mathrm{d}t$ 就得到
$$ \mathrm{d}\left( {f\left( {\varphi \left( t\right) }\right) }\right) = {f}^{\prime }\left( {\varphi \left( t\right) }\right) \mathrm{d}\varphi \left( t\right) . $$
这就是说: 不论 $x$ 是自变量,或者 $x = \varphi \left( t\right)$ 是另一变量 $t$ 的函数,函数 $f\left( x\right)$ 的微分表示式都具有相同的形式
$$ \mathrm{d}f\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x. $$
这一结论叫作微分表示的不变性. 它虽然只是复合函数求导公式的另一表述,应用起来却极为便利. 这在以后学习不定积分时会看得更清楚.
定理 2 中所述的复合函数求导法则又称为链式法则. 对于函数 $z = g\left( y\right)$ 与 $y = f\left( x\right)$ 的复合,这一法则可以形式地写成
$$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}x} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{\;d}y} \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x}, $$
并可陈述如下:
欲求复合函数对自变量的导数, 可以先求它对中间变量的导数, 再乘以中间变量对自变量的导数.
在实际解题时, 并不一定每次用新的记号表示中间变量, 只要在心中默记住我们当作中间变量的式子 $f\left( x\right)$ 就可以了. 熟练地掌握这一方法就能大大加快计算速度. 书写的格式通常是
$$ {\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right) }^{\prime } = {g}^{\prime }\left( {f\left( x\right) }\right) {\left( f\left( x\right) \right) }^{\prime }. $$
请看下面的例子.