📝 题目
例 9 试求函数 $\ln \left| x\right| \left( {x \neq 0}\right)$ 和函数 $\ln \left| {x + c}\right| \left( {x \neq - c}\right)$ 的导数.
💡 答案与解析
解 对于 $x > 0$ ,我们已经知道
$$ {\left( \ln \left| x\right| \right) }^{\prime } = {\left( \ln x\right) }^{\prime } = \frac{1}{x}. $$
设 $x < 0$ ,则 $\left| x\right| = - x$ . 对该情形我们有
$$ {\left( \ln \left| x\right| \right) }^{\prime } = {\left( \ln \left( -x\right) \right) }^{\prime } $$
$$ = \frac{1}{-x} \cdot {\left( -x\right) }^{\prime } = \frac{1}{x}. $$
对于 $x > 0$ 和 $x < 0$ 这两种情形,我们都得到
$$ {\left( \ln \left| x\right| \right) }^{\prime } = 1/x. $$
由此又可得到
$$ {\left( \ln \left| x + c\right| \right) }^{\prime } = \frac{1}{x + c}{\left( x + c\right) }^{\prime } = \frac{1}{x + c}. $$