📝 题目
例 15 试求幂-指数式 ${\left( u\left( x\right) \right) }^{v\left( x\right) }$ 的导数,这里 $u\left( x\right) > 0$ ,函数 $u$ 和 $v$ 在 $x$ 点可导.
💡 答案与解析
解 我们有
$$ u{\left( x\right) }^{v\left( x\right) } = {\mathrm{e}}^{v\left( x\right) \ln u\left( x\right) }, $$
因而
$$ {\left( u{\left( x\right) }^{v\left( x\right) }\right) }^{\prime } = {\left( {\mathrm{e}}^{v\left( x\right) \ln u\left( x\right) }\right) }^{\prime } $$
$$ = {\mathrm{e}}^{v\left( x\right) \ln u\left( x\right) }{\left( v\left( x\right) \ln u\left( x\right) \right) }^{\prime } $$
$$ = {\mathrm{e}}^{v\left( x\right) \ln u\left( x\right) }\left( {{v}^{\prime }\left( x\right) \ln u\left( x\right) + v\left( x\right) \frac{{u}^{\prime }\left( x\right) }{u\left( x\right) }}\right) $$
$$ = u{\left( x\right) }^{v\left( x\right) }\left( {{v}^{\prime }\left( x\right) \ln u\left( x\right) + v\left( x\right) \frac{{u}^{\prime }\left( x\right) }{u\left( x\right) }}\right) $$
$$ = u{\left( x\right) }^{v\left( x\right) }\left( {\ln u\left( x\right) }\right) {v}^{\prime }\left( x\right) + v\left( x\right) u{\left( x\right) }^{v\left( x\right) - 1}{u}^{\prime }\left( x\right) . $$
我们看到: 幂-指数式的导数为两项之和, 这两项分别相当于把该式当作指数函数和幂函数求导所得的结果.