📝 题目
例 19 求 $\psi \left( y\right) = \arctan y$ 的导数.
💡 答案与解析
解 函数 $\psi \left( y\right) = \arctan y$ 是函数 $\varphi \left( x\right) = \tan x$ 的反函数,因而
$$ {\psi }^{\prime }\left( y\right) = \frac{1}{{\varphi }^{\prime }\left( {\psi \left( y\right) }\right) } = \frac{1}{\frac{1}{{\cos }^{2}\left( {\arctan y}\right) }} = {\cos }^{2}\left( {\arctan y}\right) $$
$$ = \frac{1}{1 + {\tan }^{2}\left( {\arctan y}\right) } = \frac{1}{1 + {y}^{2}}. $$
通过一系列例题, 我们已经求出了所有基本初等函数的导数. 现将所得的结果列表做一小结.
初等函数的导数表
\begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline 函数 $f\left( x\right)$ & 导数 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ & 备注 \\ \cline{1-3} $C$ & \multirow{18}{*}{0 $m{x}^{m - 1}$ $- m{x}^{-m - 1}$ $\mu {x}^{\mu - 1}$ $\cos x$ $- \sin x$ $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ $- \frac{1}{{\sin }^{2}x}$ $\frac{1}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}$ $- \frac{1}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}$ $\frac{1}{1 + {x}^{2}}$ $- \frac{1}{1 + {x}^{2}}$ ${\mathrm{e}}^{x}$ ${a}^{x}\ln a$ $\frac{1}{x}$ $\frac{1}{x}{\log }_{a}\mathrm{e}$ $\frac{1}{\sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}}$ $\frac{1}{\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}}$} & $C$ 是常数 \\ \cline{1-1} \cline{3-3} ${x}^{m}$ & & $m$ 是自然数 \\ \cline{1-1} \cline{3-3} ${x}^{-m}$ & & $m$ 是自然数, $x \neq 0$ \\ \cline{1-1} \cline{3-3} ${x}^{\mu }$ & & $\mu$ 是实数, $x > 0$ \\ \cline{1-1} \cline{3-3} $\sin x$ & & \phantom{X} \\ \cline{1-1} \cline{3-3} $\cos x$ & & \phantom{X} \\ \cline{1-1} \cline{3-3} $\tan x$ & & $x \neq {k\pi } + \frac{\pi }{2}$ \\ \cline{1-1} \cline{3-3} $\cot x$ & & $x \neq {k\pi }$ \\ \cline{1-1} \cline{3-3} $\arcsin x$ & & $\left| x\right| < 1$ \\ \cline{1-1} \cline{3-3} $\arccos x$ & & $\left| x\right| < 1$ \\ \cline{1-1} \cline{3-3} $\arctan x$ & & \phantom{X} \\ \cline{1-1} \cline{3-3} $\operatorname{arccot}x$ & & \phantom{X} \\ \cline{1-1} \cline{3-3} ${\mathrm{e}}^{x}$ & & \phantom{X} \\ \cline{1-1} \cline{3-3} ${a}^{x}$ & & $a > 0,a \neq 1$ \\ \cline{1-1} \cline{3-3} $\ln \left| x\right|$ & & $x \neq 0$ \\ \cline{1-1} \cline{3-3} ${\log }_{a}\left| x\right|$ & & $a > 0,a \neq 1,x \neq 0$ \\ \cline{1-1} \cline{3-3} $\ln \left( {x + \sqrt{{x}^{2} + {a}^{2}}}\right)$ & & \phantom{X} \\ \cline{1-1} \cline{3-3} $\ln \left( {x + \sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}}\right)$ & & $\left| x\right| > \left| a\right|$ \\ \cline{1-3} \hline \end{tabular} } \end{center}