📝 题目
例 20 考察由极坐标方程给出的曲线
$$ r = r\left( \theta \right) \text{ . } $$
试求这曲线在某点 $\left( {r,\theta }\right)$ 的切线.
💡 答案与解析
解 由极坐标方程可得曲线的参数方程
$$ x = r\left( \theta \right) \cos \theta ,\;y = r\left( \theta \right) \sin \theta . $$
于是
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} = \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}\theta }}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}\theta }} = \frac{{r}^{\prime }\left( \theta \right) \sin \theta + r\left( \theta \right) \cos \theta }{{r}^{\prime }\left( \theta \right) \cos \theta - r\left( \theta \right) \sin \theta } $$
$$ = \frac{\tan \theta + \frac{r\left( \theta \right) }{{r}^{\prime }\left( \theta \right) }}{1 - \tan \theta \frac{r\left( \theta \right) }{{r}^{\prime }\left( \theta \right) }}. $$
以 $\alpha$ 记切线与极轴 (也就是 ${OX}$ 轴) 的夹角 (见图 4-4),则有
$$ \tan \alpha = \frac{\tan \theta + \frac{r\left( \theta \right) }{{r}^{\prime }\left( \theta \right) }}{1 - \tan \theta \frac{r\left( \theta \right) }{{r}^{\prime }\left( \theta \right) }}. $$
由这式子又可得到
$$ \frac{r\left( \theta \right) }{{r}^{\prime }\left( \theta \right) } = \frac{\tan \alpha - \tan \theta }{1 + \tan \alpha \tan \theta } $$
$$ = \tan \left( {\alpha - \theta }\right) = \tan \beta . $$
这里 $\beta = \alpha - \theta$ 恰好就是切线与极径的夹角.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/010.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 4-4
于是,我们得知: 对于由极坐标方程 $r = r\left( \theta \right)$ 表示的曲线,其切线与极径的夹角的正切应为
$$ \frac{r\left( \theta \right) }{{r}^{\prime }\left( \theta \right) } $$
有时候,变量 $y$ 对变量 $x$ 的函数关系通过一个方程来给出. 例如, 按照方程
$$ {x}^{2} + {y}^{2} = 1, $$
对每一个 $x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ ,有唯一的 $y \in \lbrack 0, + \infty )$ 与之对应 (容易看出 $y = \sqrt{1 - {x}^{2}}$ ). 于是,方程 ${x}^{2} + {y}^{2} = 1$ 确定了从集合 $D = \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 到集合 $E = \lbrack 0, + \infty )$ 的一个函数. 对一般情形,设 $D \subset \mathbb{R},E \subset \mathbb{R}$ . 如果按照方程
$$ F\left( {x,y}\right) = 0, $$
对每一个 $x \in D$ 恰好有唯一的 $y \in E$ 与之对应,那么我们就说: 由条件
$$ F\left( {x,y}\right) = 0,\;x \in D,y \in E $$
确定了一个隐函数. 有时候, 隐函数可以用显式解出. 例如由关系
$$ {x}^{2} + {y}^{2} = 1,\; - 1 \leq x \leq 1,\;y \geq 0 $$
确定的隐函数, 可以用显式表示为
$$ y = \sqrt{1 - {x}^{2}},\; - 1 \leq x \leq 1; $$
而由关系
$$ {x}^{2} + {y}^{2} = 1,\; - 1 \leq x \leq 1,\;y \leq 0 $$
确定的隐函数, 可以用显式表示为
$$ y = - \sqrt{1 - {x}^{2}},\; - 1 \leq x \leq 1. $$
从上述例子可以看出,要由方程确定一个隐函数,仅仅指出 $x$ 的变化范围是不够的,还需要指出 $y$ 的变化范围. 至于由方程确定隐函数的一般条件以及所确定的隐函数的分析性质, 这些都是十分重要的课题. 本书将在多元函数部分予以讨论. 这里仅仅指出: 对于隐函数存在并且可导的情形, 并不一定需要先解出显式表示再求导, 直接对隐函数所满足的方程求导往往更为便利. 请看下面的例子.