📝 题目
例 21 求由以下条件确定的隐函数 $y = y\left( x\right)$ 的导数:
$$ {x}^{2} + {y}^{2} = 1,\; - 1 < x < 1,y > 0. $$
💡 答案与解析
解 以 $y = y\left( x\right)$ 代入方程 ${x}^{2} + {y}^{2} = 1$ 应该得到一个恒等式. 对这恒等式两边求导得
$$ {2x} + {2y}{y}^{\prime } = 0 $$
$$ {y}^{\prime } = - x/y\text{ . } $$
用显式表示来验算, 我们得到
$$ {y}^{\prime } = {\left( \sqrt{1 - {x}^{2}}\right) }^{\prime } = \frac{1}{2\sqrt{1 - {x}^{2}}}{\left( 1 - {x}^{2}\right) }^{\prime } $$
$$ = - \frac{x}{\sqrt{1 - {x}^{2}}} = - \frac{x}{y}. $$
有时候, 从函数的直接表示式求导数比较复杂, 改用 (人为的) 隐式表示来求这函数的导数也许还要简便一些. 所谓对数求导法(适用于幂-指数表示式及其他一些情形)就是一个很好的例子.