📝 题目
例 2 设函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上有 $n + 1$ 阶导数. 如果
$$ {f}^{\left( n + 1\right) }\left( x\right) = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$
那么
$$ f\left( x\right) \equiv {C}_{0}{x}^{n} + {C}_{1}{x}^{n - 1} + \cdots + {C}_{n}. $$
💡 答案与解析
证明 用归纳法. $n = 1$ 的情形已见于上一例子中. 假设对于 $n = k$ 的情形结论成立. 我们来考察 $n = k + 1$ 的情形. 这时 ${f}^{\prime }$ 在 $\mathbb{R}$ 上有 $k + 1$ 阶导数,并且
$$ {\left( {f}^{\prime }\right) }^{\left( k + 1\right) }\left( x\right) = {f}^{\left( k + 2\right) }\left( x\right) = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$
因而 (根据归纳的假设) 有
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) \equiv {C}_{0}^{\prime }{x}^{k} + {C}_{1}^{\prime }{x}^{k - 1} + \cdots + {C}_{k}^{\prime }, $$
这里 ${C}_{0}^{\prime },{C}_{1}^{\prime },\cdots ,{C}_{k}^{\prime }$ 是常数. 记
$$ \varphi \left( x\right) = f\left( x\right) - \frac{{C}_{0}^{\prime }}{k + 1}{x}^{k + 1} - \frac{{C}_{1}^{\prime }}{k}{x}^{k} - \cdots - {C}_{k}^{\prime }x, $$
则有
$$ {\varphi }^{\prime }\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right) - {C}_{0}^{\prime }{x}^{k} - {C}_{1}^{\prime }{x}^{k - 1} - \cdots - {C}_{k}^{\prime } $$
$$ = 0,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$
因而
$$ \varphi \left( x\right) \equiv {C}_{k + 1}\text{ (常数). } $$
我们证明了
$$ f\left( x\right) \equiv {C}_{0}{x}^{k + 1} + {C}_{1}{x}^{k} + \cdots + {C}_{k}x + {C}_{k + 1}, $$
这里
$$ {C}_{0} = \frac{{C}_{0}^{\prime }}{k + 1},{C}_{1} = \frac{{C}_{1}^{\prime }}{k},\cdots ,{C}_{k} = {C}_{k}^{\prime }. $$