📝 题目
例 12 求 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{{\left( {x}^{2} + {a}^{2}\right) }^{2}}$ .
💡 答案与解析
解 令 $x = a\tan t$ ,则 $\mathrm{d}x = \frac{a\mathrm{\;d}t}{{\cos }^{2}t}$ ,我们得到
$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{{\left( {x}^{2} + {a}^{2}\right) }^{2}} = \frac{1}{{a}^{3}}\int {\cos }^{2}t\mathrm{\;d}t $$
$$ = \frac{1}{2{a}^{3}}\left( {t + \sin t\cos t}\right) + C $$
$$ = \frac{1}{2{a}^{3}}\left( {t + \frac{\tan t}{{\tan }^{2}t + 1}}\right) + C $$
$$ = \frac{1}{2{a}^{3}}\arctan \frac{x}{a} + \frac{1}{2{a}^{2}}\frac{x}{{x}^{2} + {a}^{2}} + C. $$
在以下两个例子里, 我们用换元积分法计算上节不定积分表最后一行中的两个积分.