📝 题目
例 1 求 $\displaystyle{\int x\cos x\mathrm{\;d}x,\int x\sin x\mathrm{\;d}x}$ 和 $\displaystyle{\int x{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案与解析
解
$$ \int x\cos x\mathrm{\;d}x = \int x\mathrm{\;d}\sin x $$
$$ = x\sin x - \int \sin x\mathrm{\;d}x $$
$$ = x\sin x + \cos x + C\text{ . } $$
$$ \int x\sin x\mathrm{\;d}x = - \int x\mathrm{\;d}\cos x $$
$$ = - x\cos x + \int \cos x\mathrm{\;d}x $$
$$ = - x\cos x + \sin x + C\text{ . } $$
$$ \int x{\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x = \int x{\mathrm{\;{de}}}^{x} $$
$$ = x{\mathrm{e}}^{x} - \int {\mathrm{e}}^{x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = x{\mathrm{e}}^{x} - {\mathrm{e}}^{x} + C $$
$$ = \left( {x - 1}\right) {\mathrm{e}}^{x} + C\text{ . } $$