📝 题目
例 4 求 $\displaystyle{\int {x}^{2}\cos x\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案与解析
解 $\displaystyle{\int {x}^{2}\cos x\mathrm{\;d}x = \int {x}^{2}\mathrm{\;d}\sin x}$
$$ = {x}^{2}\sin x - \int \sin x\mathrm{\;d}\left( {x}^{2}\right) $$
$$ = {x}^{2}\sin x - 2\int x\sin x\mathrm{\;d}x $$
$$ = {x}^{2}\sin x + 2\int x\mathrm{\;d}\cos x $$
$$ = {x}^{2}\sin x + {2x}\cos x - 2\int \cos x\mathrm{\;d}x $$
$$ = {x}^{2}\sin x + {2x}\cos x - 2\sin x + C. $$
在上面的例子中, 我们接连两次运用分部积分的手续. 一般说来, 多次运用分部积分手续, 我们可以求出以下形式的一些不定积分:
$$ \int {x}^{k}\sin {bx}\mathrm{\;d}x,\;\int {x}^{k}\cos {bx}\mathrm{\;d}x, $$
$$ \int {x}^{k}{\mathrm{e}}^{ax}\mathrm{\;d}x,\;\int {x}^{k}{\ln }^{m}x\mathrm{\;d}x, $$
这里 $k,m \in \mathbb{N}$ .
我们再来看另外一些类型的例子.