📝 题目
例 6 求 $\displaystyle{\int {\mathrm{e}}^{ax}\cos {bx}\mathrm{\;d}x}$ 和 $\displaystyle{\int {\mathrm{e}}^{ax}\sin {bx}\mathrm{\;d}x}$ ,这里 $a,b \neq 0$ .
💡 答案与解析
解 利用分部积分法可得
$$ \int {\mathrm{e}}^{ax}\cos {bx}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{ax}\cos {bx} + \frac{b}{a}\int {\mathrm{e}}^{ax}\sin {bx}\mathrm{\;d}x, $$
$$ \int {\mathrm{e}}^{ax}\sin {bx}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{ax}\sin {bx} - \frac{b}{a}\int {\mathrm{e}}^{ax}\cos {bx}\mathrm{\;d}x. $$
解这方程组, 我们求得
$$ \int {\mathrm{e}}^{ax}\cos {bx}\mathrm{\;d}x = {\mathrm{e}}^{ax}\frac{a\cos {bx} + b\sin {bx}}{{a}^{2} + {b}^{2}} + C, $$
$$ \int {\mathrm{e}}^{ax}\sin {bx}\mathrm{\;d}x = {\mathrm{e}}^{ax}\frac{a\sin {bx} - b\cos {bx}}{{a}^{2} + {b}^{2}} + C. $$