📝 题目
例 1 常值函数 $f\left( x\right) \equiv C$ 在任何区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上可积,并且
$$ {\int }_{a}^{b}C\mathrm{\;d}x = C\left( {b - a}\right) . $$
事实上,对于 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 的任意分割 $P$ 和相应于这分割的任意标志点组 $\xi$ ,都有
$$ \sigma \left( {C,P,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{C\Delta }{x}_{i} = C\left( {b - a}\right) . $$
利用关于序列极限的运算法则,立即可以得到:
定理 1 (积分的线性性质) 设函数 $f$ 和 $g$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上可积, $\lambda \in \mathbb{R}$ ,则函数 $f + g$ 和函数 ${\lambda f}$ 也都在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上可积,并且
$$ {\int }_{a}^{b}\left( {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x, $$
$$ {\int }_{a}^{b}{\lambda f}\left( x\right) \mathrm{d}x = \lambda {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$
💡 答案与解析
证明 我们有
$$ \sigma \left( {f + g,P,\xi }\right) = \sigma \left( {f,P,\xi }\right) + \sigma \left( {g,P,\xi }\right) $$
和
$$ \sigma \left( {{\lambda f},P,\xi }\right) = {\lambda \sigma }\left( {f,P,\xi }\right) . $$
以下引理指出了函数可积的一个必要条件.
引理 设函数 $f$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上可积,则 $f$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上有界.
证明 用反证法. 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\left| P\right| \rightarrow 0}}\sigma \left( {f,P,\xi }\right) = I, $$
所以对于 $\varepsilon = 1 > 0$ ,存在 $\delta > 0$ ,使得只要 $\left| P\right| < \delta$ ,不论相应的标志点组 $\xi$ 怎样选择,都有
$$ \left| {\sigma \left( {f,P,\xi }\right) }\right| \leq \left| {\sigma \left( {f,P,\xi }\right) - I}\right| + \left| I\right| $$
$$ < 1 + \left| I\right| \text{ . } $$
我们选定一个这样的分割 $P$ . 假设 $f$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上无界,那么至少存在分割 $P$ 的一个闭子区间 $\left\lbrack {{x}_{j - 1},{x}_{j}}\right\rbrack$ ,使得 $f$ 在该闭子区间上是无界的. 我们这样来选取 $\xi$ : 先任意选定
$$ {\xi }_{i} \in \left\lbrack {{x}_{i - 1},{x}_{i}}\right\rbrack ,\;\forall i \neq j, $$
然后选择 ${\xi }_{j} \in \left\lbrack {{x}_{j - 1},{x}_{j}}\right\rbrack$ 满足
$$ \left| {f\left( {\xi }_{j}\right) }\right| \Delta {x}_{j} > \left| {\mathop{\sum }\limits_{{i \neq j}}f\left( {\xi }_{i}\right) \Delta {x}_{i}}\right| + 1 + \left| I\right| . $$
对于这样选取的 $\xi$ 就有
$$ 1 + \left| I\right| > \left| {\sigma \left( {f,P,\xi }\right) }\right| $$
$$ = \left| {\mathop{\sum }\limits_{i}f\left( {\xi }_{i}\right) \Delta {x}_{i}}\right| $$
$$ \geq \left| {f\left( {\xi }_{j}\right) }\right| \Delta {x}_{j} - \left| {\mathop{\sum }\limits_{{i \neq j}}f\left( {\xi }_{i}\right) \Delta {x}_{i}}\right| $$
$$ > 1 + \left| I\right| \text{ . } $$
这一矛盾说明所做的关于 $f$ 无界的假设不能成立. 我们用反证法证明了 $f$ 必须在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上有界.
定理 2 (积分的可加性) 设 $a < b < c$ . 如果函数 $f$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 和 $\left\lbrack {b,c}\right\rbrack$ 上都可积,那么它在 $\left\lbrack {a,c}\right\rbrack$ 上也可积,并且
$$ {\int }_{a}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{b}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$
证明 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 和 $\left\lbrack {b,c}\right\rbrack$ 上可积的函数 $f$ ,在这两闭区间上也是有界的. 因而存在 $K \in \mathbb{R}$ ,使得
$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq K,\;\forall x \in \left\lbrack {a,c}\right\rbrack . $$
设 $P$ 是 $\left\lbrack {a,c}\right\rbrack$ 的任意一个分割, $\xi$ 是相应于这分割的一组标志点
$$ P : a = {x}_{0} < {x}_{1} < \cdots < {x}_{m} = c, $$
$$ \xi = \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{m}}\right) . $$
在此基础上,我们来定义分割 $\widetilde{P}$ 和相应于这分割的标志点组 $\widetilde{\xi }$ . 如果 $b$ 是 $P$ 中的一个分点,那么就取 $\widetilde{P} = P,\widetilde{\xi } = \xi$ . 如果 $b$ 不是 $P$ 中的分点,那么就把 $b$ 补充作为分点,这样定义一个分割
$$ \widetilde{P} : a = {x}_{0} < \cdots < {x}_{k - 1} < b < {x}_{k} < \cdots < {x}_{m} = c, $$
并选取
$$ \bar{\xi } = \left( {{\xi }_{1},\cdots ,{\xi }_{k - 1},b,b,{\xi }_{k + 1},\cdots ,{\xi }_{m}}\right) . $$
将 $\sigma \left( {f,P,\xi }\right)$ 与 $\sigma \left( {f,\widetilde{P},\widetilde{\xi }}\right)$ 加以比较,不相同的部分至多是: $\sigma \left( {f,P,\xi }\right)$ 中的加项
$$ f\left( {\xi }_{k}\right) \left( {{x}_{k} - {x}_{k - 1}}\right) $$
被代之以 $\sigma \left( {f,\widetilde{P},\widetilde{\xi }}\right)$ 中的
$$ f\left( b\right) \left( {b - {x}_{k - 1}}\right) + f\left( b\right) \left( {{x}_{k} - b}\right) = f\left( b\right) \left( {{x}_{k} - {x}_{k - 1}}\right) . $$
因而
$$ \left| {\sigma \left( {f,P,\xi }\right) - \sigma \left( {f,\widetilde{P},\widetilde{\xi }}\right) }\right| $$
$$ \leq \left| {f\left( {\xi }_{k}\right) - f\left( b\right) }\right| \left( {{x}_{k} - {x}_{k - 1}}\right) $$
$$ \leq {2K}\left| P\right| \text{ . } $$
分割 $\widetilde{P}$ 限制在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 和 $\left\lbrack {b,c}\right\rbrack$ 上分别给出这两区间的分割 ${\widetilde{P}}^{\prime }$ 和 ${\widetilde{P}}^{\prime \prime }$ , 而 $\widetilde{\xi }$ 限制在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 和 $\left\lbrack {b,c}\right\rbrack$ 上分别给出相应的标志点组 ${\widetilde{\xi }}^{\prime }$ 和 ${\widetilde{\xi }}^{\prime \prime }$ . 我们有
$$ \sigma \left( {f,\widetilde{P},\widetilde{\xi }}\right) = \sigma \left( {f,{\widetilde{P}}^{\prime },{\widetilde{\xi }}^{\prime }}\right) + \sigma \left( {f,{\widetilde{P}}^{\prime \prime },{\widetilde{\xi }}^{\prime \prime }}\right) . $$
让 $\left| P\right| \rightarrow 0$ ,上式右端趋于极限
$$ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{b}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$
因而当 $\left| P\right| \rightarrow 0$ 时,积分和 $\sigma \left( {f,P,\xi }\right)$ 有极限
$$ \mathop{\lim }\limits_{{\left| P\right| \rightarrow 0}}\sigma \left( {f,P,\xi }\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\left| P\right| \rightarrow 0}}\sigma \left( {f,\widetilde{P},\widetilde{\xi }}\right) $$
$$ = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{b}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$
这证明了定理的论断.
注记 (1) 在下一篇中,我们将证明,如果函数 $f$ 在 $\left\lbrack {a,c}\right\rbrack$ 上可积,那么它在 $\left\lbrack {a,c}\right\rbrack$ 的闭子区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 和 $\left\lbrack {b,c}\right\rbrack$ 上也都可积. 这时当然可以运用可加性公式
$$ {\int }_{a}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{b}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$
(2)我们约定
$$ {\int }_{a}^{\beta }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \left\{ \begin{array}{ll} - {\int }_{\beta }^{a}f\left( x\right) \mathrm{d}x, & \text{ 如果 }\beta < \alpha , \\ 0, & \text{ 如果 }\beta = \alpha . \end{array}\right. $$
于是,对于 $\alpha < \beta ,\alpha = \beta$ 与 $\alpha > \beta$ 这几种情形,积分
$$ {\int }_{a}^{\beta }f\left( x\right) \mathrm{d}x $$
都有了定义. 采取这样的约定,对于任意顺序的三点 $a,b,c$ (不必限制 $a < b < c$ ),只要函数 $f$ 在这三点之间最大的一个区间上可积,就仍然有
$$ {\int }_{a}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x + {\int }_{b}^{c}f\left( x\right) \mathrm{d}x. $$
定理 3 (积分的单调性) 设 $a < b$ ,函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上可积并且满足
$$ f\left( x\right) \leq g\left( x\right) ,\;\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack , $$
则有
$$ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq {\int }_{a}^{b}g\left( x\right) \mathrm{d}x. $$
证明 记 $\varphi \left( x\right) = g\left( x\right) - f\left( x\right)$ ,则有
$$ \varphi \left( x\right) \geq 0,\;\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack . $$
我们来证明
$$ {\int }_{a}^{b}\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x \geq 0. $$
事实上, $\varphi$ 的任意积分和都是非负的,
$$ \sigma \left( {\varphi ,P,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{i}\varphi \left( {\xi }_{i}\right) \Delta {x}_{i} \geq 0, $$
所以
$$ {\int }_{a}^{b}\varphi \left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{\left| P\right| \rightarrow 0}}\sigma \left( {\varphi ,P,\xi }\right) \geq 0. $$
定理 4 (积分的中值定理) 设 $a < b$ ,函数 $f$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上可积 (于是 $f$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上是有界的). 如果
$$ m \leq f\left( x\right) \leq M,\;\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack , $$
那么
$$ m\left( {b - a}\right) \leq {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq M\left( {b - a}\right) . $$
特别地,如果 $f$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续,那么存在 $c \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得
$$ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( c\right) \left( {b - a}\right) . $$
证明 利用积分的单调性质可得
$$ {\int }_{a}^{b}m\mathrm{\;d}x \leq {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq {\int }_{a}^{b}M\mathrm{\;d}x, $$
即
$$ m\left( {b - a}\right) \leq {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq M\left( {b - a}\right) . $$
在下一篇里,我们将证明任何连续函数都是可积的. 如果 $f$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续, 那么对于
$$ m = \mathop{\inf }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}\{ f\left( x\right) \} ,\;M = \mathop{\sup }\limits_{{x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }}\{ f\left( x\right) \} , $$
应有
$$ m\left( {b - a}\right) \leq {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq M\left( {b - a}\right) , $$
即
$$ m \leq \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq M. $$
由于函数 $f$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续,必定存在 $c \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得
$$ f\left( c\right) = \frac{1}{b - a}{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x, $$
即
$$ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = f\left( c\right) \left( {b - a}\right) . $$
注记 上面定理后一结论的几何解释如下: 由连续曲线 $y =$ $f\left( x\right)$ 与直线 $x = a,x = b,y = 0$ 所围成的图形的面积,等于以 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 为底,以 $f\left( c\right)$ 为高的矩形的面积. 这里 $c$ 是 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 中一个适当的点 (见图 6-1).
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/019.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6-1