📝 题目
例 4 求极限
$$ \lim \left( {\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n}}\right) . $$
💡 答案与解析
解 我们可以把
$$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{n + k} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \cdot \frac{1}{n} $$
看成是函数 $\frac{1}{1 + x}$ 在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的积分和,于是
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{n + k} = {\int }_{0}^{1}\frac{1}{1 + x}\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\left. \ln \left( 1 + x\right) \right| }_{0}^{1} = \ln 2. $$