📝 题目
例 5 求极限
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left( {\frac{n}{{n}^{2} + {1}^{2}} + \frac{n}{{n}^{2} + {2}^{2}} + \cdots + \frac{n}{2{n}^{2}}}\right) $$
💡 答案与解析
解 我们可以把
$$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{n}{{n}^{2} + {k}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{1 + {\left( \frac{k}{n}\right) }^{2}} \cdot \frac{1}{n} $$
看成是函数 $\frac{1}{1 + {x}^{2}}$ 在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的积分和,于是
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{n}{{n}^{2} + {k}^{2}} = {\int }_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} $$
$$ = {\left. \arctan x\right| }_{0}^{1} = \frac{\pi }{4}. $$