📝 题目
例 1 求椭圆 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 所围成的面积.
💡 答案与解析
解 由对称性, 所求面积为它在第一象限内的部分面积的 4 倍:
$$ S = 4{\int }_{0}^{a}y\mathrm{\;d}x = {4b}{\int }_{0}^{a}\sqrt{1 - \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}\mathrm{\;d}x. $$
做变元替换 $x = a\sin t$ ,则得
$$ S = {4ab}{\int }_{0}^{\pi /2}{\cos }^{2}t\mathrm{\;d}t $$
$$ = {2ab}{\int }_{0}^{\pi /2}\left( {1 + \cos {2t}}\right) \mathrm{d}t = {\pi ab}. $$