📝 题目
例 2 求抛物线 ${y}^{2} = {2x}$ 与直线 $x - y = 4$ 所围图形的面积.
💡 答案与解析
解 先求抛物线与直线的交点. 由
$$ \left\{ \begin{array}{l} {y}^{2} = {2x}, \\ y = x - 4 \end{array}\right. $$
可知交点为 $A\left( {2, - 2}\right)$ 和 $B\left( {8,4}\right)$ (见图 6-2). 把所围面积视为由 $x = y + 4$ 与 $x = {y}^{2}/2$ 所围成,我们得到
$$ S = {\int }_{-2}^{4}\left( {y + 4 - \frac{{y}^{2}}{2}}\right) \mathrm{d}y = {18}. $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/020.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6-2
现在来考察由极坐标表示的曲线围成的图形的面积. 设给定了由极坐标方程表示的曲线
$$ r = r\left( \theta \right) ,\;\alpha \leq \theta \leq \beta . $$
我们来求这曲线与射线 $\theta = \alpha$ 和 $\theta = \beta$ 所围成的图形的面积. 先来看最简单的情形: $r\left( \theta \right) = R$ 是常值函数,即该曲线是一段圆弧. 这时显然有
$$ S = \frac{1}{2}{R}^{2}\left( {\beta - \alpha }\right) . $$
再来看一般的情形. 对角度 $\theta$ 的变化范围 $\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack$ 做一分割
$$ \alpha = {\theta }_{0} < {\theta }_{1} < \cdots < {\theta }_{n} = \beta , $$
并取
$$ {\omega }_{i} \in \left\lbrack {{\theta }_{i - 1},{\theta }_{i}}\right\rbrack ,\;i = 1,2,\cdots ,n. $$
于是,夹在射线 $\theta = {\theta }_{i - 1},\theta = {\theta }_{i}$ 和曲线 $r = r\left( \theta \right)$ 间的图形的面积可近似地表示为
$$ \frac{1}{2}{r}^{2}\left( {\omega }_{i}\right) \Delta {\theta }_{i}, $$
这里
$$ \Delta {\theta }_{i} = {\theta }_{i} - {\theta }_{i - 1}. $$
整个图形的面积近似地表示为
$$ S \approx \frac{1}{2}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{r}^{2}\left( {\omega }_{i}\right) \Delta {\theta }_{i}. $$
让 $\displaystyle{\max \Delta {\theta }_{i} \rightarrow 0}$ ,我们得到
$$ S = \frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^{2}\left( \theta \right) \mathrm{d}\theta . $$
我们把微分式 $\frac{1}{2}{r}^{2}\left( \theta \right) \mathrm{d}\theta$ 叫作用极坐标表示的面积微元. 它表示夹角为 $\mathrm{d}\theta$ ,半径为 $r\left( \theta \right)$ 的一个微小扇形的面积. 积分 $\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^{2}\left( \theta \right) \mathrm{d}\theta$ 可以看成是这样的微小扇形面积之和的极限 (图 6-3).
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/021.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6-3