📝 题目
例 3 求双纽线 ${r}^{2} = {a}^{2}\cos {2\theta }$ 所围成的图形的面积 $\left( {a > 0}\right)$ .
💡 答案与解析
解 先要弄清楚这曲线的大致情形(分布范围、对称性、是否封闭等). 把曲线方程写成
$$ r = a\sqrt{\cos {2\theta }}. $$
在 $\left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack$ 范围内,当且仅当 $\left| \theta \right| \leq \frac{\pi }{4}$ 或者 $\left| \theta \right| \geq \frac{3}{4}\pi$ 时 $\cos {2\theta } \geq 0$ . 对这样的 $\theta$ 有
$$ 0 \leq r = a\sqrt{\cos {2\theta }} \leq a. $$
我们判定曲线分布在对顶的两扇形之中:
$$ \left| \theta \right| \leq \frac{\pi }{4},0 \leq r \leq a;\;\left| \theta \right| \geq \frac{3\pi }{4},0 \leq r \leq a. $$
如果点 $\left( {r,\theta }\right)$ 在曲线上,那么点 $\left( {r, - \theta }\right)$ 和点 $\left( {r, \pm \pi \pm \theta }\right)$ 也都在曲线上. 因而曲线关于极轴和垂直于极轴的直线对称, 关于极点中心对称. 显然 $\theta = \pm \frac{\pi }{4}$ 和 $\theta = \pm \frac{3}{4}\pi$ 时曲线通过极点. 这曲线由两支封闭的曲线组成 (图 6-4). 经过以上的分析, 我们判定: 所求图形的面积为它在 $0 \leq \theta \leq \pi /4$ 范围内面积的 4 倍.
$$ S = 4 \cdot \frac{1}{2}{\int }_{0}^{\pi /4}{r}^{2}\mathrm{\;d}\theta = 2{a}^{2}{\int }_{0}^{\pi /4}\cos {2\theta }\mathrm{d}\theta $$
$$ = {\left. {a}^{2}\sin 2\theta \right| }_{0}^{\pi /4} = {a}^{2}. $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/022.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6-4