📝 题目
例 4 求心形线 $r = a\left( {1 + \cos \theta }\right)$ 所围成的图形的面积.
💡 答案与解析
解 容易看出, 该曲线关于极轴对称并且是封闭的. 所求的面积为它在上半平面内面积的 2 倍 (见图 6-5):
$$ S = 2 \cdot \frac{1}{2}{\int }_{0}^{\pi }{a}^{2}{\left( 1 + \cos \theta \right) }^{2}\mathrm{\;d}\theta $$
$$ = {a}^{2}{\int }_{0}^{\pi }\left( {1 + 2\cos \theta + {\cos }^{2}\theta }\right) \mathrm{d}\theta $$
$$ = \frac{3}{2}\pi {a}^{2}\text{ . } $$
\begin{center} \includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/023.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 6-5