第6章 定积分 · 第5题

解 设该正劈锥体的底为

$$ {x}^{2} + {y}^{2} \leq {R}^{2},\;z = 0, $$

顶棱为

$$ - R \leq x \leq R,\;y = 0,\;z = H. $$

过 ${OX}$ 轴上一点 $x$ 并垂直于该轴的平面截正劈锥体得一等腰三角形, 该等腰三角形的面积为

$$ S\left( x\right) = H \cdot y = H\sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}. $$

于是, 我们求得正劈锥体的体积

$$ V = {\int }_{-R}^{R}H\sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x = {2H}{\int }_{0}^{R}\sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}\mathrm{\;d}x $$

$$ = {2H}{R}^{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}t\mathrm{\;d}t $$

$$ = H{R}^{2}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left( {1 + \cos {2t}}\right) \mathrm{d}t $$

$$ = \frac{\pi {R}^{2}H}{2}\text{ . } $$