第7章 微分方程初步 · 第1题

例 1 设跳伞员受到与速度大小成正比的空气阻力, 我们来考察他的下降速度 $v$ 的变化规律. 根据牛顿第二定律,我们得到运动方程

$$ m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} = {mg} - {kv}, $$

即

$$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} + \frac{k}{m}v = g. $$

用 ${\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}$ 乘方程两边得

$$ {\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} + \frac{k}{m}{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}v = g{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}, $$

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( {{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}v}\right) = g{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t} $$

$$ {\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}v = \frac{mg}{k}{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t} + C, $$

$$ v = \frac{mg}{k} + C{\mathrm{e}}^{-\frac{k}{m}t} $$

如果在时刻 $t = 0$ 跳伞员的初始速度为 0,那么就应有

$$ 0 = \frac{mg}{k} + C, $$

$$ C = - \frac{mg}{k}. $$

跳伞员的下降速度的变化规律为

$$ v = \frac{mg}{k}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{k}{m}t}}\right) . $$

我们看到, 与自由落体的运动不同, 跳伞员的速度不会无限增大, 而是逐渐趋于一个终极速度 ${mg}/k$ .

自然界有一些量, 它的减少速度正比于该量本身的数值. 这样的量 $x$ 应满足以下的微分方程

$$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = - {kx}, $$

即

$$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} + {kx} = 0. $$