📝 题目
例 5(气压公式)我们来考察大气压强随海拔高度的变化. 首先,依据物理学中的玻意耳-马略特定律,在温度不变的条件下,一定质量气体的体积与压强成反比:
$$ {pV} = c\text{ (常数). } $$
由此得知,气体的比重 $\rho$ 应与压强 $p$ 成正比
$$ \rho = {kp}. $$
其次,我们来考察高度 $h$ 到高度 $h + {\Delta h}$ 之间的一个薄柱体 (设柱体的底面积为 $\sigma$ ). 这柱体中气体的重量应该为柱体下底与上底所受大气压力之差所平衡,因而有
$$ p\left( h\right) \sigma - p\left( {h + {\Delta h}}\right) \sigma = {\rho \sigma \Delta h}, $$
也就是
$$ {\Delta p} = - {\rho \Delta h}. $$
这式两边除以 ${\Delta h}$ 并且过渡到极限就得到
$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{\;d}h} = - \rho . $$
再利用比重 $\rho$ 与压强 $p$ 成正比的事实,我们得到微分方程
$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{\;d}h} = - {kp}. $$
💡 答案与解析
解该方程得
$$ p = C{\mathrm{e}}^{-{kh}}. $$
这里的常数 $C$ 有明确的物理意义——它是海平面高度上的大气压强:
$$ C = {\left. p\right| }_{h = 0}\text{ . } $$
我们把 $C$ 记为 ${p}_{0}$ ,于是气压公式可以写成
$$ p = {p}_{0}{\mathrm{e}}^{-{kh}}. $$
由该公式得到
$$ h = \frac{1}{k}\ln \frac{{p}_{0}}{p}. $$
这就是说, 我们可以利用气压计来测高度. 根据该原理, 人们制造了轻巧便利的简易高度计. 当然, 影响气压的条件很多, 除了海拔高度外, 还有温度、湿度等气象因素. 因而利用气压计来测高度, 只能得到比较粗略的结果.