📝 题目
例 5 考察分段表示的函数
$$ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}, & \text{ 如果 }x > 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x \leq 0. \end{array}\right. $$
试证 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导任意多次.
💡 答案与解析
证明 显然函数 $f$ 在 $x \neq 0$ 处可导任意多次. 只需考察这函数在 $x = 0$ 处的可导性. 首先注意到
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}\frac{f\left( x\right) - f\left( 0\right) }{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}\frac{{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}}{x} $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}\frac{\frac{1}{x}}{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}} = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}\frac{t}{{\mathrm{e}}^{t}} = 0, $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 - }}\frac{f\left( x\right) - f\left( 0\right) }{x} = 0. $$
因此
$$ {f}^{\prime }\left( 0\right) = 0. $$
我们求得
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{{x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}, & \text{ 如果 }x > 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x \leq 0. \end{array}\right. $$
假设
$$ {f}^{\left( k\right) }\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {P}_{2k}\left( \frac{1}{x}\right) {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}, & \text{ 如果 }x > 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x \leq 0 \end{array}\right. $$
(这里 ${P}_{2k}\left( u\right)$ 是变元 $u$ 的 ${2k}$ 次多项式). 于是,对于 $x > 0$ 有
$$ {f}^{\left( k + 1\right) }\left( x\right) = \left\lbrack {{P}_{2k}\left( \frac{1}{x}\right) - {P}_{2k}^{\prime }\left( \frac{1}{x}\right) }\right\rbrack \frac{1}{{x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}} $$
$$ = {P}_{2\left( {k + 1}\right) }\left( \frac{1}{x}\right) {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}. $$
我们来考察 $f$ 在 $x = 0$ 处的 $k + 1$ 阶导数. 利用洛必达法则可以求得
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}\frac{{f}^{\left( k\right) }\left( x\right) - {f}^{\left( k\right) }\left( 0\right) }{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}\frac{{f}^{\left( k + 1\right) }\left( x\right) }{1} $$
$$ = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + }}\frac{{P}_{2\left( {k + 1}\right) }\left( \frac{1}{x}\right) }{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}} = 0. $$
另外显然有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 - }}\frac{{f}^{\left( k\right) }\left( x\right) - {f}^{\left( k\right) }\left( 0\right) }{x} = 0. $$
这样, 我们证明了
$$ {f}^{\left( k + 1\right) }\left( 0\right) = 0. $$
根据归纳原理,我们已经证明了: 函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导任意多次,并且
$$ {f}^{\left( n\right) }\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {P}_{2n}\left( \frac{1}{x}\right) {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}, & \text{ 如果 }x > 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x \leq 0. \end{array}\right. $$
注记 设 $f$ 是