📝 题目
例 5 求函数 $f\left( x\right) = \arctan x$ 的麦克劳林公式.
💡 答案与解析
解 我们知道,函数 $f\left( x\right) = \arctan x$ 在 0 点可导任意多次, 并且
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{1}{1 + {x}^{2}} $$
$$ = 1 - {x}^{2} + {x}^{4} - \cdots + {\left( -1\right) }^{n}{x}^{2n} + \frac{{\left( -1\right) }^{n + 1}{x}^{{2n} + 2}}{1 + {x}^{2}} $$
$$ = 1 - {x}^{2} + {x}^{4} - \cdots + {\left( -1\right) }^{n}{x}^{2n} + o\left( {x}^{{2n} + 1}\right) . $$
因而
$$ f\left( x\right) = x - \frac{{x}^{3}}{3} + \frac{{x}^{5}}{5} - \cdots $$
$$ + {\left( -1\right) }^{n}\frac{{x}^{{2n} + 1}}{{2n} + 1} + o\left( {x}^{{2n} + 2}\right) . $$