📝 题目
例 7 在原点邻近,试将函数 $f\left( x\right) = \tan x$ 展开到 4 阶项.
💡 答案与解析
解 因为奇函数的导函数是偶函数, 偶函数的导函数是奇函数, 并且任何奇函数在原点的值都是 0 , 所以容易看出
$$ f\left( 0\right) = {f}^{\prime \prime }\left( 0\right) = {f}^{\left( 4\right) }\left( 0\right) = 0. $$
尚需求出函数 $f\left( x\right) = \tan x$ 在原点的 1,3 阶导数. 计算得
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{1}{{\cos }^{2}x},\;{f}^{\prime \prime }\left( x\right) = \frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}, $$
$$ {f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) = \frac{2}{{\cos }^{2}x} + \frac{6{\sin }^{2}x}{{\cos }^{4}x}, $$
$$ {f}^{\prime }\left( 0\right) = 1,\;{f}^{\prime \prime \prime }\left( 0\right) = 2. $$
于是, 我们得到
$$ \tan x = x + \frac{1}{3}{x}^{3} + o\left( {x}^{4}\right) . $$