📝 题目
例 11 求 $K = \lim \frac{{\mathrm{e}}^{n}}{{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{{n}^{2}}}$ .
💡 答案与解析
解 我们有
$$ \lim \ln \frac{{\mathrm{e}}^{n}}{{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{{n}^{2}}} = \lim \left\lbrack {n - {n}^{2}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) }\right\rbrack $$
$$ = \lim {n}^{2}\left\lbrack {\frac{1}{n} - \ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) }\right\rbrack $$
$$ = \lim {n}^{2}\left\lbrack {\frac{1}{n} - \frac{1}{n} + \frac{1}{2{n}^{2}} + o\left( \frac{1}{{n}^{2}}\right) }\right\rbrack $$
$$ = \lim \left\lbrack {\frac{1}{2} + o\left( 1\right) }\right\rbrack = \frac{1}{2}, $$
因而
$$ K = \lim {\mathrm{e}}^{\ln \frac{{\mathrm{e}}^{n}}{{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{{n}^{2}}}} = {\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\mathrm{e}}. $$
作为带小 $o$ 余项的泰勒公式的一个应用,我们来推导极值的第三充分条件.
引理 4 设 $A \neq 0$ ,并且
$$ \varphi \left( h\right) = A{h}^{n} + o\left( {h}^{n}\right) , $$
则对充分小的 $h,\varphi \left( h\right)$ 与 $A{h}^{n}$ 同号.
证明 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{\varphi \left( h\right) }{A{h}^{n}} = 1 $$
所以对绝对值充分小的 $h \neq 0$ ,应有 $\frac{\varphi \left( h\right) }{A{h}^{n}} > 0$ ,因而 $\varphi \left( h\right)$ 与 $A{h}^{n}$ 有相同的符号.
定理 2 (极值的第三充分条件) 设函数 $f$ 在 $U\left( {{x}_{0},\eta }\right)$ 有定义, 在 ${x}_{0}$ 点 $n$ 次可导,并且
$$ {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \cdots = {f}^{\left( n - 1\right) }\left( {x}_{0}\right) = 0,\;{f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) \neq 0, $$
则有
(1)如果 $n$ 是偶数,那么函数 $f$ 在 ${x}_{0}$ 点取得严格极值——当 ${f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) > 0$ 时 $f$ 在 ${x}_{0}$ 点取得严格极小值,当 ${f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) < 0$ 时 $f$ 在 ${x}_{0}$ 点取得严格极大值;
(2)如果 $n$ 是奇数,那么 ${x}_{0}$ 不是函数 $f$ 的极值点.
证明 我们写出函数 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点的泰勒公式:
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) }{\left( {n - 1}\right) !}{\left( x - {x}_{0}\right) }^{n - 1} + o\left( {\left( x - {x}_{0}\right) }^{n - 1}\right) . $$
由引理 4 可知,对充分接近 ${x}_{0}$ 的 $x$ ,
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) \text{ 与 }\frac{{f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) }{\left( {n - 1}\right) !}{\left( x - {x}_{0}\right) }^{n - 1} $$
有相同的符号. 因而
(1)如果 $n$ 是偶数,那么在 ${x}_{0}$ 点的左右两侧导函数 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 有相反的符号,因而函数 $f\left( x\right)$ 在 ${x}_{0}$ 点取得严格极值 $\left( {{f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) > 0}\right.$ 时是严格极小值, ${f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) < 0$ 时是严格极大值);
(2)如果 $n$ 是奇数,那么在 ${x}_{0}$ 的两侧导函数 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 有相同的符号,因而 ${x}_{0}$ 点不是函数 $f\left( x\right)$ 的极值点.