📝 题目
例 13 试证 $\mathrm{e}$ 是无理数.
💡 答案与解析
证明 (用反证法) 假设 $\mathrm{e}$ 是有理数,它表示成分母为 $N$ 的分数,取 $\displaystyle{n > \max \{ N,3\}}$ . 根据函数 ${\mathrm{e}}^{x}$ 的拉格朗日形式的泰勒公式,我们有
$$ \mathrm{e} - 1 - \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} - \cdots - \frac{1}{n!} = \frac{{\mathrm{e}}^{\theta }}{\left( {n + 1}\right) !}, $$
这里 $0 < \theta < 1$ ,因而 $1 < {\mathrm{e}}^{\theta } < 3$ . 上式两边乘以 $n$ ! 得到
$$ n!\left( {\mathrm{e} - 1 - \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} - \cdots - \frac{1}{n!}}\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{0}}{n + 1}. $$
但上式左边是整数, 而右边
$$ 0 < \frac{{\mathrm{e}}^{\theta }}{n + 1} < 1 $$
这一矛盾说明 $\mathrm{e}$ 不能是有理数.