📝 题目
例 1 对于 $x \geq 0$ ,我们有不等式
$$ \frac{x}{1 + x} \leq \ln \left( {1 + x}\right) \leq x, $$
等号仅当 $x = 0$ 时成立.
💡 答案与解析
证明 根据拉格朗日中值定理, 应该有
$$ \ln \left( {1 + x}\right) = \ln \left( {1 + x}\right) - \ln \left( {1 + 0}\right) = \frac{x}{1 + {\theta x}}, $$
$$ 0 < \theta < 1\text{ . } $$
因为
$$ \frac{1}{1 + x} \leq \frac{1}{1 + {\theta x}} \leq 1 $$
(等号仅当 $x = 0$ 时成立),
所以
$$ \frac{x}{1 + x} \leq \ln \left( {1 + x}\right) \leq x $$
(等号仅当 $x = 0$ 时成立).
作为