📝 题目
例 2 求证: ${\mathrm{e}}^{x} \geq 1 + x,\forall x \in \mathbb{R}$ ,等号仅当 $x = 0$ 时成立.
💡 答案与解析
证明 利用泰勒公式
$$ {\mathrm{e}}^{x} = 1 + x + \frac{{x}^{2}}{2}{\mathrm{e}}^{\theta x}, $$
可得
$$ {\mathrm{e}}^{x} \geq 1 + x, $$
上式中的等号仅当 $x = 0$ 时成立.
例 2 求证: ${\mathrm{e}}^{x} \geq 1 + x,\forall x \in \mathbb{R}$ ,等号仅当 $x = 0$ 时成立.
证明 利用泰勒公式
$$ {\mathrm{e}}^{x} = 1 + x + \frac{{x}^{2}}{2}{\mathrm{e}}^{\theta x}, $$
可得
$$ {\mathrm{e}}^{x} \geq 1 + x, $$
上式中的等号仅当 $x = 0$ 时成立.