📝 题目
例 3 (推广的伯努利不等式) 对于 $\alpha > 1,x > - 1$ ,我们有
$$ {\left( 1 + x\right) }^{a} \geq 1 + {\alpha x}, $$
等号仅当 $x = 0$ 时成立.
💡 答案与解析
证明 我们有
$$ {\left( 1 + x\right) }^{\alpha } = 1 + {\alpha x} + \frac{\alpha \left( {\alpha - 1}\right) }{2}{\left( 1 + \theta x\right) }^{\alpha - 2}{x}^{2} $$
$$ \geq 1 + {\alpha x},\;\forall x > - 1. $$
上式中的等号仅当 $x = 0$ 时成立.
注记