📝 题目
例 4 求证
$$ \frac{\sin x}{x} \geq \frac{2}{\pi },\;\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack . $$
💡 答案与解析
证明 考察函数
$$ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin x}{x}, & \text{ 如果 }x \neq 0, \\ 1, & \text{ 如果 }x = 0. \end{array}\right. $$
这函数在 $\left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 上连续,在 $\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ 上可导,并且
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{x\cos x - \sin x}{{x}^{2}} $$
$$ = \frac{\cos x}{{x}^{2}}\left( {x - \tan x}\right) < 0,\;\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right) . $$
我们看到: 函数 $f$ 在 $\left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 上是单调下降的,因而
$$ f\left( x\right) \geq f\left( \frac{\pi }{2}\right) ,\;\forall x \in \left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack . $$
由此得到
$$ \frac{\sin x}{x} \geq \frac{2}{\pi },\;\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack . $$