📝 题目
例 5 求证: ${\mathrm{e}}^{x} \leq \frac{1}{1 - x},\forall x < 1$ .
💡 答案与解析
证明 记 $f\left( x\right) = \left( {1 - x}\right) {\mathrm{e}}^{x}$ ,则有
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = - x{\mathrm{e}}^{x}. $$
导函数 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 经过 $x = 0$ 这一点从正变为负,因而 $x = 0$ 是函数 $f\left( x\right)$ 取得最大值的点. 我们得到
$$ \left( {1 - x}\right) {\mathrm{e}}^{x} \leq 1,\;\forall x \in \mathbb{R}, $$
因而
$$ {\mathrm{e}}^{x} \leq \frac{1}{1 - x},\;\forall x < 1. $$