📝 题目
例 4 作函数 $y = \frac{2x}{1 + {x}^{2}}$ 的图形.
💡 答案与解析
解 该函数的定义域为 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,它是一个奇函数. 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}y = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{2x}{1 + {x}^{2}} = 0, $$
所以图形以 $x$ 轴为水平渐近线. 计算函数的导数得
$$ {y}^{\prime } = \frac{2\left( {1 - {x}^{2}}\right) }{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{2}},\;{y}^{\prime \prime } = \frac{{4x}\left( {{x}^{2} - 3}\right) }{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{3}}. $$
我们列表讨论函数 $y = \frac{2x}{1 + {x}^{2}}$ 的升降与极值,凹凸与拐点:
\begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & (-1,0) & 0 & (0,1) & 1 & $\left( {1,\sqrt{3}}\right)$ & $\sqrt{3}$ & $\left( {\sqrt{3}, + \infty }\right)$ \\ \cline{1-8} ${y}^{\prime }$ & + & + & + & 0 & - & - & - \\ \cline{1-8} ${y}^{\prime \prime }$ & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\ \cline{1-8} $y$ & J & 0 & ↗ & 1 & ↓ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & ↘ \\ \cline{1-8} 备注 & \phantom{X} & 拐点 & \phantom{X} & 极大 & \phantom{X} & 拐点 & \phantom{X} \\ \cline{1-8} \hline \end{tabular} } \end{center}
该函数的图形描绘在图 8-7 中.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/039.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 8-7