📝 题目
例 6 作函数 $y = \frac{{x}^{3}}{{x}^{2} - 1}$ 的图形.
💡 答案与解析
解 该函数的定义域是 $\mathbb{R} \smallsetminus \{ \pm 1\}$ . 它是一个奇函数. 因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \pm 1}}y = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \pm 1}}\frac{{x}^{3}}{{x}^{2} - 1} = \infty , $$
所以函数的图形以 $x = \pm 1$ 为竖直渐近线. 又因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{y}{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{{x}^{2}}{{x}^{2} - 1} = 1, $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\left( {y - x}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{x}{{x}^{2} - 1} = 0, $$
所以图形以 $y = x$ 为斜渐近线. 为了便于计算导数,我们把这个函数的表示式写成
$$ y = x + \frac{x}{{x}^{2} - 1} $$
$$ = x + \frac{1}{2\left( {x - 1}\right) } + \frac{1}{2\left( {x + 1}\right) }. $$
于是求得
$$ {y}^{\prime } = 1 - \frac{1}{2{\left( x - 1\right) }^{2}} - \frac{1}{2{\left( x + 1\right) }^{2}} = \frac{{x}^{2}\left( {{x}^{2} - 3}\right) }{{\left( {x}^{2} - 1\right) }^{2}}, $$
$$ {y}^{\prime \prime } = \frac{1}{{\left( x - 1\right) }^{3}} + \frac{1}{{\left( x + 1\right) }^{3}} = \frac{{2x}\left( {{x}^{2} + 3}\right) }{{\left( {x}^{2} - 1\right) }^{3}}. $$
我们列表讨论函数的升降与极值,凹凸与拐点:
\begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & (-1,0) & 0 & (0,1) & $\left( {1,\sqrt{3}}\right)$ & $\sqrt{3}$ & $\left( {\sqrt{3}, + \infty }\right)$ \\ \cline{1-7} ${y}^{\prime }$ & - & 0 & - & - & 0 & + \\ \cline{1-7} ${y}^{\prime \prime }$ & + & 0 & - & + & + & + \\ \cline{1-7} $y$ & ↘ & 0 & ↓ & ↘ & $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ & - \\ \cline{1-7} 备注 & \phantom{X} & 拐点 & \phantom{X} & \phantom{X} & 极小 & \phantom{X} \\ \cline{1-7} \hline \end{tabular} } \end{center}
这个函数的图形描绘在图 8-9 中.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/041.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 8-9