📝 题目
例 1 设 $a > 0$ . 试写出用牛顿法求算术平方根 $\sqrt{a}$ 的迭代公式.
💡 答案与解析
解 记 $f\left( x\right) = {x}^{2} - a$ ,则有
$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = {2x} > 0,\;{f}^{\prime \prime }\left( x\right) = 2 > 0,\;\forall x > 0. $$
用牛顿法求解方程 ${x}^{2} - a = 0$ 的迭代公式应为:
$$ {x}_{n} = {x}_{n - 1} - \frac{f\left( {x}_{n - 1}\right) }{{f}^{\prime }\left( {x}_{n - 1}\right) } $$
$$ = {x}_{n - 1} - \frac{{x}_{n - 1}^{2} - a}{2{x}_{n - 1}} $$
$$ = \frac{1}{2}\left( {{x}_{n - 1} + \frac{a}{{x}_{n - 1}}}\right) . $$
在第二章 §3 的