📝 题目
例 4 计算积分
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x\;\left( {a > 0}\right) . $$
💡 答案与解析
解 函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}$ 的原函数为:
$$ F\left( x\right) = - {\mathrm{e}}^{-{ax}}\frac{a\sin {bx} + b\cos {bx}}{{a}^{2} + {b}^{2}} + C, $$
因而
$$ {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x = {\left. F\left( x\right) \right| }_{0}^{+\infty } = \frac{b}{{a}^{2} + {b}^{2}}. $$